Алгебра на Клифорд

Алгебра на Клифорд ς_n

Станчо Вълканов Павлов

На, вземи сърцето ми! Терзай!
На, вземи живот, стремеж и младост;
но донес ми вино и ми дай
мрачната забрава да не страдам.

Николай Хрелков 1894 - 1950 г.

Въведение

Нека V_n е векторно пространство над полето на реалните числа R с базис e₁, e₂, e₃, …, e_n .
Разглеждаме произведения на базисните вектори от вида e_i₁ e_i₂ e_i₃ … e_{i_k} , като индексите са различни и са в строго нарастваш ред. Тези произведения се наричат геометрични и се означават без точки между множителите.
Максималният брой на индексите в тези произведения е n.
Геометричното произведение ae₁e₂e₃ … e_n , където a е реално число се нарича псевдокалар.
Представката "псевдо" има старогръцки произход и означава "лъже" , така, че спокойно, псевдоскаларите можем да ги наричаме "лъжескалари".
Елементите на алгебрата на Клифорд ς_n са суми от вида

Елементите на алгебрата на Клифорд –Cliff1

За индексите i_j се поставя условие да бъдат в строго нарастваш ред:

Ще напиша вида на елементите на алгебрите ς₁ , ς₂ и ς₃ . ?
В алгебрата на Клифорд по естествен начин се въвеждат събиране и умножение по число. Тези две операции превръщат ς_n във векторно пространство. В тази алгебра, разглеждана само като векторно пространство (без умножаването на нейните елементи ), се образуват следните подпространства:
{a₀}- пространство на нула-векторите, или на числата, или на скаларите. То е с размерност 1 и базис {1}.
Пространство едно-вектори или просто вектори –_1Vect

- пространство на едно-векторите или просто векторите с размерност n и базис

Елементите на подпространството на едно-векторите ще наричаме просто вектори.
За да се отличат от останалите елементи на алгебрата се означават с почернени латински букви.
Пространство дву-векторите или просто вектори –_2Vect

- пространство на дву-векторите или бивекторите с размерност

и базис

пространство на три-векторите с размерност

и базис

и т.н. до пространството на псевдоскаларите - с базис геометричното произведение на всички базисни вектори

, което е с размерност 1, както и скаларите.
Размерността на ς_n е равна на 2ⁿ . ?

Умножението в алгебрата на Клифорд ς_n

Както във всяка алгебра и в тази се въвежда произведение, което се нарича геометрично и се означава без точка между множителите, както вече беше писано. Геометричното произведение на елементите на ς_n се извършва по сложен начин, чрез две помощни произведения означавани със символите "." и "^" – точка и колибка. Тези произведения ще наричаме съответно "вътрешно" и външно или "точково" и "колибково". Ако множителите са вектори те се дефинират чрез геометричното произведение от равенствата: Дефиниращи равенства за точковото и колибковото произведение за вектори --DotWedge1

От тук нататък, за да отличим векторите или по-точно едновекторите от останалите елементи на алгебрата ще ги означаваме с почернини, латински букви. Така че a и b за нас са вектори а a и b не са.
Да препишем отново дефиниращите равенства на точковото и колибковото произведение, подчертавайки че те се отнасят само за вектори: Дефиниращи равенства за точковото и колибковото произведение за вектори --DotWedge2

Тези равенства нямат пряка връзка със скаларното и векторното произведение, защото могат да се извършват не само върху вектори, но и върху произволни елементи от алгебрата на Клифорд, но за това по-нататък.
Геометричното произведение за вектори се дефинира чрез тях:

Точковото умножение, приложено за вектори е симетрично, а колибковото-антисиметрично:

Важно наблюдение е и че за всеки вектор точковия квадрат е равен на геометричния и за тях се използва обичайното означение a на квадрат:

За геометричното произведение изискваме свойствата, описани в определението на алгебра. От тях следват разпределителните закони за точково и колибково произведение но не и съдружителния закон: Истина и забруждение –TrueFalse1

Преобразувайки основните тъждества, получаваме начин за смяна на реда при геометричното произведение: Комутиращи тъждества –ComEqu1

Тъждествата

ще наричаме комутиращи.
Как се използват? Ако са известени квадрата a² и скаларното произведение а трябва да преобразуваме геометричното произведението aba подреждайки множителите получаваме: aba = (ab)a = (2(a.b) - ba)a = 2(a.b)a-ba² .
За да започнем отнякъде трябва да приемем, че точковите произведения са зададени поне за векторите.
Да приемем, че във веторното пространство V_n е определен ортогонален базис –

. Да определим точковото произведение да съвпада със скаларното: Точково произведение--DotPr1

. Тогава, за всеки два базисни вектора, за геометричното произведение, е изпълнено ij = -ji и i²=1. Така дефинираното точково произвединие ни дава възможност да напишем таблицата на геометричното умножение в алгебрата ς₃ , като означим базисните вектори с по привичните означения i , j и k, както вече го направихме. Тогава за всеки два базисни вектора, за геометричното произведение, е изпълнено: ij = -ji и i² = 1.
Дефиницията на точковото произвединие ни дава възможност да напишем таблицата на геометричното умножение в алгебрата ς₃ като използваме означенията i , j и k за базисните вектори. ?

ς₁ - числа

Елементите от тези алгебри са от вида a+be, където e е единствения базисен вектор, който по традиция, идваща от комплексните числа, ще означаваме с i . Определяйки геометричното произведение ii, ще получим определена алгебра от семейството алгебри ς₁.
Подробно са разгледани случаите i² = -1, i² = 1 и i² = 0, като новите числа се наричат съответно комплексни, двойни и дуални. Съответните произведения са асоциативни и комутативни.
Ще разгледаме по-подробно двойните числа, свързани с хиперболичната геометрия. Те са от вида a+bi , като произведението се извършва с помощта на равенството i²=1. При двойните числа съществуват делители на нулата: (a+ai) (a-ai) = 0. Спрегнатото, модулът и нормата на двойното число α се дефинират с равенствата:

Нормата е реално чило, и то е пложително за областта, означена с I Четирите квадранта в хиперболичната геометрия--_5Quadrant1

, която се нарича първи квадрант в хиперболичната геометрия. При двойните числа, както и при комплексните се въвежда експоненциална форма: Експоненциална форма на двойните числа--_5ExpForm1

Експоненциална форма на двойните числа--_5ExpForm1

За тези, двойни числа е разработен геометрия и даже анализ. Геометрията се нарича хиперболична. При нея ролята на синуса и косинуса се играе от хиперболичните синус и косинус.
В сила е формула, подобна на тригонометричната форма на комплексните числа:

, където аргумента r е решение на уравнението: Хиперболичен аркустангенс--_5DualNumb3

. В сила са и формули, подобни на тези на Моавър: Модулите се умножават а аргументите се събират—_5DualNumb4

.
Преобразованията на Лоренц имат вида: Преобразования на лоренц--_5Lorenc1

, където t е времето, x е координатата а c – скоростта на светлината. Въвеждайки означанията

преобразованията придобиват вида: Преобразованието с новите означения--_5Lorenc3

. Двойното число Двойночислова константа--_5Lorenc4

има модул единица и може да се представи в експоненциалния вид:

Тогава

е преобразование, което може да се нарече хиперболична ротация, по подобие на това, че преобразованието z = ze^iφ осъществява завъртане на ъгъл φ при комплексните числа.

ς₂ или геометрията и алгебра в равнината

Точково, колибково и други произведения произведение в ς₂

Елементите от тези алгебри са от вида a + be₁ + be₂ + be₁e₂ , където e₁ и e₂ са базисните вектори, които ще означаваме с i и j . Определяме точковото (вътрешно ) произведение на базисните вектори както скаларното. Геометричното произведение ij ще означаваме с I. Тогава, за антикомутативното, колибково (външно ) произведение получаваме : i^j = ij - i.j = I - 0 = I. При геометричното произведение перпендикулярните вектори i и j антикомутират т.е. ij = - ji. И изобщо ако векторите a и b са перпендикулярни то ab = -ba, както ще се убедим по-нататък. I е бивектор и е неправилно да се отъждествява с вектора k, перпендикулярен на i и j.
Ако a и b са вектори то a^b се свързва с ориентираната равнина, определена от a и b:

2-вектор или бивектор --_6BiVect1

Изобщо, за точковото и колибковото произведение за вектори са изпълнени свойствата: Вътрешно и външно произведение --_6InProd1

Ето я важната таблица за геометричното произведение на числата от ς₂:

	1	i	j	I
1	1	i	j	I
i	i	1	I	j
j	j	-I	1	-i
I	I	-j	i	-1

Ако v е вектор то при геометричното произведение той противо се размества с I : vI = -Iv . ? Ако v е ненулев вектор, то той е обратим спрямо геометричното произведение. Обратният му е v^-1 = v / v² . Два вектора от ς₂ се наричат перпендикуларни ако тяхното точково (вътрешно) произведение е нула. За два перпедикулярни вектора a и b е изпълнено противоразместителното (антикомутативно) свойство: ab = -ba . ?

Ако p е едно от числата (1 ± i)/2 или (1 ± j)/2 то p е идемпотентен елемент: p² = p. Ако q е едно от числата (i ± I)/2 или ( j ± I)/2 то q е нилпотентен елемент: q² = 0. ?

Тази част от елемент α на ς₂ , която не съдържа скалара ще наричаме безскаларна част и ще я означаваме с α, заградено във ъглови скоби, снабдени с долен десен индекс 0 с чертичка отгоре. С α, с чертичка отгоре, ще означаваме елемента, който има същата скаларна част на α и противоположна безскаларна част. Този елемент ще наричаме спрегнат на α. Безскаларна част на число --_6NonScal1

Произведението на два спрегнати елемента е с нулева безскаларна част. ?
С α , заградено във ъглови скоби, снабдени с долен десен индекс k се означава проекцията на α върху пространството от k - векторите. Проекции на числата върху пространствата на k-векторите _6Proect1

Проекции на числата върху пространствата на k-векторите _6Proect1

Определенията за точковото и колибковото произведение, въведени преди само за вектори, се разширяват и за вектор и k-вектор. Ако A_k е k-вектор и v е 1-вектор то Вътрешно и външно произведение на вектор с k-вектор _6DotWedge1

Забележете, че и в двете дефиниции векторите се появяват като ляв множител!

Докато точковото умножение с вектор намалява кратността на другия множител с единица, то колибковото я увеличава също с толкова.
По-нататък, ако Бог даде, ще разгледам и други свойства на вече въведените произведения и на тези, които ще въведем впоследствие.
Но засега - "Колкото по-малко – толкова по-малко."

Ще умножа произволен базисен вектор по произволен базисен елемент на алгебрата и точково и колибково. ?
Ще докажа тъждеството a.(b^c) = (a.b)c - (a.c)b като ще обясня отделните стъпки в таблица.
В първата графа ще напиша резултата от поредното преобразование, във средната словесно ше опиша следващото преобразование и неговата цел а в третата – използваното тъждество. ?
За k и l - векторите са въведени са още две произведения, обобщаващи точковото произведение.
Означават се с вертикална и долна хоризонтална черта, като двете образуват ъгълче.
То е насочено към вектора или по-общо - s-вектора от по-ниска кратност. Обобщения на точковото произведение _6LeftDot1

. Ще ги нарека съответно ляво и дясно обощено точково (скаларно или вътрешно) произведение. Поради трудността при изобразяването ще ги означачавам, понякога, и със смесени - кръгла и квадратна скоба, като кръглата е от страната на множителя от по-малка кратност. Ако последният, от страната на кръглата скоба, е от по-голяма кратност от другия множител, се приема че обощеното скаларно произведение е равно на нула. Например (i, I] е равно на 1-проекцията ( разликата между кратностите на втория и първия множител ) на геометричното произведение iI:
(i, I ] = < iI >₁ = j.
Ще направя таблици за лявото и дясно обощени скаларни произведения за числата от ς₂ : ? Друга единична (унарна) операция е променящата реда на множителите в базисните k-вектори. Тази операция ще я наричаме обръщане и се означава с вълничка над обобщеното число от алгебрата или горе вдясно от нея: Обръщане на хиперчисло _6DotInv1

Отделянето на скалара в геометричното произведение е важна двойна (бинарна) операция, която се означава със зведичка между обобщените числа. Числото α*α^~ е реално, положително число. ? Неговият квадратен корен се нарича норма на α и се означава с ||α||.

Влагането на комплексните числа в ς₂

ς₂ съдържа подмножество, изоморфно на на комплексните числа – елементите от вида a+bI, където a и b са реални числа а I е лъжескалара I=ij. По нататък няма да правим разлика между комплексните числа и числата a+bI от ς₂ .
Ако на 1-вектора ai+bj съпоставим е числото i(ai+bj) получаваме изображение от множеството на векторите в множеството на комплексните числа от ς₂ . Обратното преобразование на описаното се получава с повторно умножение на i : i(a+bI) = ai+bj .
За всеки 1-вектор z от ς₂ е вярно свойството: ze^Iφ = e^-Iφz ?

Експонциална форма на числата от ς₂

Вече беше показано как се определя тригонометричната форма на двойните числа:

.
В сила е и представянето

, което е подобно на това при комплексните числа.

Геометрични преобразования в равнината, изразени чрез числата от ς₂

Ще представим образа на вектор при осева симетрия спрямо права, минаваща през центъра, чрез въведените операции в алгебрата на Клифорд. Нека единиченият вектор n е перпендикулярен на оста на симетрия и е насочен към вектора v.
Тогава симетричният вектор на v - векторът v' е равен на минус nvn: v'= -nvn. Симетричен вектор спрямо права _7SymVect1

Симетричен вектор спрямо права _7SymVect1

? Векторът v' - симетричен на v спрямо права, перпендикулярна на единичения вектор n, насочен към v ще означаваме с S_n(v) . Показахме, че S_n(v) = -nvn . Ще докажа, че ако приложа два пъти симетрия на вектор спрямо една права ще получа същия вектор: S_-n (S_n(v)) = v. ?
Две последователни отражения спрямо перпендикулярни прави преобразуват вектор в неговия противоположен: S_m (S_n(v)) = -v . _7TwoSymVectrs1

Ще изразим ротация на ъгъл φ спрямо центъра. Ще я представим като произведение от две симетрии спрямо прави, сключващи ъгъл φ/2.
Нека n и m са единични вектори, перпендикулярни на тези прави. В сила е равенството: Rφ(v) = mnvnm. ?

Числата от ς₂ , представени като матрици

Числата от алгебрата ς₂ могат да се представят чрез матрици: ?

Приложение на алгебрата ς₂ в небесната механика

Позицията на небесно тяло спрямо Земята ще представим като 1-вектор x .
Нека U е комплексно число от същата алгебра – число от вида U = a+bI. Нека още x = U²i.
Дължината на вектора x е произведението на U и неговото комплексно спрегнато.
Тя е равна на a²+b² :

. Комплексното число U ще считаме че е функция на времето t .
Диференцираме първото равенство, като производната спрямо t ще я означаваме с точка:

Умножаваме отляво на спрегнатото на U като се възползваме от равенството

Умножаваме двете страни отляво с i:

.
Сега сменяме променливата t със s. s е променлива, за която е изпълнено ds/dt = 1/r . Производната спрямо s ще я означаваме с щрих. Важно равенство, което ще използваме по-нататък. Запиши го! - _7Imp1

Съкращаването на r отляво е голямо предимство, както ще се убедим по-нататък.
После, диференцираме спрямо s като използваме отново правилото за диференциране на сложна функция: Производна на сложна функция –_7ChaneRool1

.
Понеже r е скалар то комутира с векторите в геометричните произведения.
Получаваме :

За първото събираемо използваме втория закон на Нютон: Закон на Нютон _7Newton1

а за второто - вече полученото равенство: Погледнете по-горе -_7LookUp

, за да получим: Опростяваме отдясно -_7Simpl1

.
Опростяваме първото събираемо като използваме :

То придобива вида: Потенциална енергия, умножена по U -_7PotEnrgy1

.
Опростяваме и второто събираемо : Кинетична енергия, умножена по U _7KinEnrgy1

.
Получаваме равенството Сумата от кинетичната и потенциалната енергия е константа - _7E1

Изразът в скобите е сума от потенциалната и кинетична енергии. Тази енергия ще означим с E. Тя може да бъде положителна и отрицателна. Движението е ограничено когато енергията Е е отрицателна .
Означавайки частното E/2m с -ω ² получаваме: Лесно за решаване уравнение -_7SimplEq1

Това е едно лесно решимо диференциално уравнение.
Решението му е:

, като за A и B ще предполагаме че са реални числа.
Ще изразим r като функция на s и със това ще приключим:

.

Какво ще научим: Край

Алгебра на Клифорд ς_n - отговори, доказателства, връзки и литература

Какво трябва да знаем?

Какво трябва да знаем:
Линейно ( Векторно ) пространство
Базис на векторно пространство
Триъгълник на Паскал Биномни коефициенти
Алгебра
Комплексни числа - алгебрична форма
Тригонометрична форма на комплексните числа
Действия с комплексни числа записани в тригонометрична форма
Кватерниони или хиперкомплексни числа

Висша алгебра

Размерността на ς_n е равна на 2ⁿ .

Таблицата на геометричното умножение в алгебрата ς₃

Геом. пр.	1	i	j	k	ij	jk	ki	ijk
1	1	i	j	k	ij	jk	ki	*ijk*
i	i	1	ij	*-ki*	j	*ijk*	-k	jk
j	j	*-ij*	1	jk	-i	k	*ijk*	ki
k	k	ki	*-jk*	1	*ijk*	-j	i	ij
ij	ij	-j	i	*ijk*	-1	*-ki*	jk	-k
jk	jk	*ijk*	-k	j	ki	-1	*-ij*	-i
ki	ki	k	*ijk*	-i	*-jk*	ij	-1	-j
ijk	*ijk*	*-jk*	*-ki*	ij	-k	-i	-j	-1

В зелено са първите множители а в червено - вторите.

Ако v е вектор то при геометричното произведение той противо се размества с I : vI = -Iv . Противаразместителност на вектор с I --_6AntiComm1

За два перпедикулярни вектора a и b е изпълнено противоразместителното (антикомутативно) свойство: ab = -ba .

Противаразместителност на два перпендикулярни вектара _6AntiComm2

Ако p е едно от числата (1 ± i)/2 или (1 ± j)/2 то p е идемпотентен елемент: p² = p.
Ако q е едно от числата (i ± I)/2 или ( j ± I)/2 то q е нилпотентен елемент: q² = 0. ?

И другите случаи се разглеждат подобно на този.
Сега за q: Нилпотентен елемент _6_1Nilp1

Ако два елемента имат равни скаларни части и противоположни безскаларни то тяхното геометрично произведение е с нулева безскаларна част.

Произведенията на произволен базисен вектор по произволен базисен елемент на алгебрата - и точково и колибково.

.	i	j	I
i	1	0	j
j	0	1	-i

^	i	j	I
i	0	I	0
j	-I	0	0

Ще докажа тъждеството a.(b^c) = (a.b)c - (a.c)b като ще обясня отделните стъпки в таблица.
В първата графа ще напиша резултата от поредното преобразование, във средната словесно ше опиша следващото преобразование и неговата цел а в третата – използваното тъждество.

*a.(b^c)*	Преобразувам външното произведение в геометрично, защото желая да изразя целия израз като сума от геометрични произведения.	*a^b=(ab-ba)/2*
	Разкривам скобите, използвайки разпределителното свойство.	*a.(A+B) = a.A + a.B*
	Преобразувам вътрешните произведения в геометрични.
	Използвам противокомутиращите тъждества с цел да преместя векторите b и c най-вдясно.	*ab+ba=*2a.b
	Подреждам, групирам и изнасям b и c извън скоби.	*Ac+Bc=(A+B)c*
	Използвам дефиницията на вътрешно произведение за вектори.	*ab + ba =*2a.b
	Подреждам, групирам и съкращавам на четири.
(*a.b)c - (a.c*)b

Таблици за лявото и дясно обощени скаларни произведения за числата от ς₂

( , ]	1	i	j	I
1	1	i	j	I
i	0	1	0	j
j	0	0	1	-i
I	0	0	0	-1

[ , )	1	i	j	I
1	1	0	0	0
i	i	1	0	0
j	j	0	1	0
I	I	-j	i	-1

Важна операция е променящата реда на множителите в базисните k-вектори.
Тази операция ще я наричаме обръщане и ще я означаваме с вълничка над обобщеното число от алгебрата или горе вдясно от нея: Обръщане на хиперчисло _6DotInv1

Отделянето на скалара в геометричното произведение е важна двойна (бинарна) операция, която се означава със звездичка между множителите. Числото α*α^~ е реално, положително число.

Поради противоразместителното свойство при геометричното произведение на вектор с I получаваме Iv = -vI.
Освен това I² е равно на -1.
Тогава:

За всеки 1-вектор z от ς₂ е вярно свойството: ze^Iφ = e^-Iφz

Да положим e^Iφ = c+Is. c и s са избрани за да напамнят синус и косинус. Тогава e^-Iφ = c-Is. Смяна на знака _7ChSign1

Ще представим образа на вектор при осева симетрия спрямо права, минаваща през центъра, чрез въведените операции в алгебрата на Клифорд. Нека единиченият вектор n е перпендикулярен на оста на симетрия и е насочен към вектора v.
Тогава симетричният вектор на v - векторът v' е равен на минус nv'n: v'= -nv'n. Симетричен вектор спрямо права _7SymVect1

Разлагаме вектора v на две съставляващи - едната от които е успоредна на n а другата – перпендикулярна на него.
Успоредната изразяваме чрез скаларното произведение а другата е това, което остане:

Векторът v' има същата перпендикулярна съставляваща и противоположна - успоредна на n .

Изразяваме скаларното произведение n.v от дефиницията и използваме това, че векторът n е единичен. Изразяване на симетричния вектор _7ExpSymVect14

Ако приложа два пъти симетрия на вектор спрямо една права ще получа същия вектор: S_-n (S_n(v)) = v.

Две последователни отражения спрямо перпендикулярни прави преобразуват вектор в неговия противоположен: S_m (S_n(v)) = -v . _7TwoSymVectrs1

Ще изразим ротация на ъгъл φ спрямо центъра, като я представим като произведение от две симетрии спрямо прави, сключващи ъгъл φ/2. Нека n и m са единични вектори, перпендикулярни на тези прави. В сила е равенството: Rφ(v) = mnvnm.

Геометрично умножаване на два вектора- _7Moavre1

Подобно се показва, че

. Тогава: Завъртане на вектор – _7RotVect2_1

Числата от алгебрата ς₂ могат да се представят чрез матрици:

Какво ще научим:
Алгебрата на Клифорд ς₃

Висша алгебра

Литература

C:\Stancho\books\Math\Algebra\Clifford_Algebra\Cembridge\hout01.pdf C:\Stancho\books\Math\Algebra\Clifford_Algebra\Cembridge\GeometricAlgebraCourseMateriasl\hout01.pdf, examples1.pdf, examples1_answers.pdf C:\Stancho\books\Math\Algebra\Clifford_Algebra\Cembridge\GeometricAlgebraLectures\lect01.pdf C:\Stancho\books\Math\Algebra\Clifford_Algebra\Cembridge\GeometricAlgebraLectures\lect02.pdf

Антони Ласенби и Крис Доран. Приложения на геометричната алгебра във физиката PHYSICAL APPLICATIONS OF GEOMETRIC ALGEBRA Anthony Lasenby and Chris Doran Давыдов Анатолий Васильевич, ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ, ТЕМАТИЧЕСКИЕ ЛЕКЦИИ Тема 8. Z-преобразование сигналов и системных функций. http://geoin.org/dsp/ davpro@yandex.ru C:\Stancho\books\Math\AppliedMath\Math For Engineers\dsp В къщи, долу, вдясно C:\Stancho\books\Math\Algebra\Ru\Cliford\9808_121.pdf СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ В.В. Сильвестров Чувашски държавен университет "И. Н. Ульянов" mp689.pdf Д. Д. Ивлев, О двойных числах и их функциях, Матем. просв., 1961, выпуск 6, 197–203 В къщи, долу, вдясно C:\Stancho\books\Math\Algebra\Clifford_Algebra\1306.1660v1.pdf Екхард Хитцер Въведение в геометричната алгебра на Клифорд 2011
В.В. Сильвестров, СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ, Чувашски държавен университет "И. Н. Ульянов"
В.Д. Д. Ивлев, О двойных числах и их функциях, Матем. просв., 1961, выпуск 6, 197–203
Екхард Хитцер Въведение в геометричната алгебра на Клифорд 2011

Алгебра на Клифорд ςn

Въведение

Умножението в алгебрата на Клифорд ςn

ς1 - числа

ς2 или геометрията и алгебра в равнината

Точково, колибково и други произведения произведение в ς2

Влагането на комплексните числа в ς2

Експонциална форма на числата от ς2

Геометрични преобразования в равнината, изразени чрез числата от ς2

Числата от ς2 , представени като матрици

Приложение на алгебрата ς2 в небесната механика

Алгебра на Клифорд ςn - отговори, доказателства, връзки и литература

Вида на елементите на алгебрите ς1 , ς2 и ς3