Алгебра на Клифорд

Геометрично произведениe в ς₃

Станчо Вълканов Павлов Елементите от тази алгебра са от вида: s + xe₁ + ye₂ + ze₃+ Xe₂e₂ + Ye₃e₁+ Ze₁e₂ + ee₁e₂e₃ , където e₁ , e₂ и e₃ са базисните вектори, които ще означаваме с i , j и k.
Определяме точковото (вътрешно ) произведение на базисните вектори както скаларното.
Геометричното произведение на jk ще означаваме с I. Подобни означения ще въведем и за другите две геометрични произведения: J:= ki и K:= ij.
Тогава, за антикомутативното, колибково (външно ) произведение получаваме : i^j = ij - i.j = K-0 = K.
При геометричното произведение перпендикулярните вектори i и j антикомутират (противо се разместват ) т.е. ij = -ji.
И изобщо ако векторите a и b са перпендикулярни то ab = -ba , както ще се убедим по-нататък.
I е бивектор и е неправилно да се отъждествява с вектора k, перпендикулярен на i и j.
Ако a и b са вектори то a^b се окартинява ( илюстрира) с ориентираната равнина, определена от a и b: 2-вектор или бивектор –Ch1BiVect1

Изобщо, за точковото и колибковото произведение за вектори са изпълнени равенствата: Вътрешно и външно произведение на два вектора –Ch1VectProd1

Вътрешно и външно произведение на два вектора –Ch1VectProd1

Грешка, при начинаещите, е да обобщават скаларното произведение за други елементи от алгебрата освен за вектори. Пример: ? Таблица на геометричните произведения на базисните елементи на ς₃ ? Ако v е вектор то при геометричното произведение е изпълнено разместителното свойство с лъжескалара E : vE = Ev. ?
Изобщо E геометрично се размества с всички елементи на алгебрата ς₃. Това е достатъчно да се покаже само за базисните елементи, но това се вижда от равенството на последния ред и последния стълб от таблицата за умножение.
Намерете геометричното произведение на два 1-вектора. ?
Два вектора от ς₃ се наричат перпендикуларни ако тяхното точково (вътрешно) произведение е нула. За два перпедикулярни вектора a и b е изпълнено противоразместителното (антикомутативно) свойство ab = -ba . ?
Намерете геометричното произведение на 1-вектор и 2-вектор . ?
За геометричното произведение на два 2-вектора е вярно равенството Геометрично произведение на два 2-вектора --–Ch12VectX2Vect1

Геометрично произведение на два 2-вектора --–Ch12VectX2Vect1

. ?

Какво ще научим: Край

Геометрично произведениe в ς₃ - отговори, доказателства, връзки и литература

Какво трябва да знаем?

Какво трябва да знаем:
Алгебра на Клифорд ς_n

Висша алгебра

Грешка, при начинаещите, е да обобщават скаларното произведение за други елементи от алгебрата освен за вектори.
Пример:

Грешки при обобщаване на скаларното произведение –ErrScalar1

Таблица на геометричните произведения на базисните елементи на ς₃

	1	i	j	k	I	J	K	E
1	1	i	j	k	I	J	K	E
i	i	1	K	-J	E	-k	j	I
j	j	-K	1	I	k	E	-i	J
k	k	J	-I	1	-j	i	E	K
I	I	E	-k	j	-1	-K	J	-i
J	J	k	E	-i	K	-1	-I	-j
K	K	-j	i	E	-J	I	-1	-k
E	E	I	J	K	-i	-j	-k	-1

Ако v е вектор то при геометричното произведение е изпълнено разместителното свойство с лъжескалара E : vE = Ev.

Разместителност на вектор с E –Ch1EComm1

Геометрично произведение на два 1-вектора.

Геометрично произведение на два вектора –Ch11VectX1Vect

Произведението се състои от две части – число и двувектор.
Първата част е симетрична спрямо двата множителя а втората – антисиметрична.
От горното равенство следва тъждество за геометричния квадрат на вектор: Геометричен квадрат на вектор –Ch1sqrVect1

Геометричен квадрат на вектор –Ch1sqrVect1

Два вектора от ς₃ се наричат перпендикуларни ако тяхното точково (вътрешно) произведение е нула. За два перпедикулярни вектора a и b е изпълнено противоразместителното (антикомутативно) свойство ab = -ba .

Противоразместителност на два перпендикулярни вектара _6AntiComm2

Геометрично произведение на 1-вектор и 2-вектор .

Геометрично произведение на вектор и 2-вектор –Ch11VectX2Vect

За геометричното произведение на два 2-вектора е вярно равенството Геометрично произведение на два 2-вектора --–Ch12VectX2Vect1

Геометрично произведение на два 2-вектора -- Ch12VectX2Vect2

От горното равенство следва тъждество за геометричния квадрат на бивектор: Квадрат на двувектор – Ch1sqr2Vect1

Какво ще научим:
Точково и колибково произведение на вектори

Висша алгебра
Алгебрата на Клифорд ς₃

Литература

C:\Stancho\books\Math\Algebra\Clifford_Algebra\Cembridge\hout01.pdf C:\Stancho\books\Math\Algebra\Clifford_Algebra\Cembridge\GeometricAlgebraCourseMateriasl\hout01.pdf, examples1.pdf, examples1_answers.pdf C:\Stancho\books\Math\Algebra\Clifford_Algebra\Cembridge\GeometricAlgebraLectures\lect01.pdf C:\Stancho\books\Math\Algebra\Clifford_Algebra\Cembridge\GeometricAlgebraLectures\lect02.pdf

Антони Ласенби и Крис Доран. Приложения на геометричната алгебра във физиката PHYSICAL APPLICATIONS OF GEOMETRIC ALGEBRA Anthony Lasenby and Chris Doran Давыдов Анатолий Васильевич, ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ, ТЕМАТИЧЕСКИЕ ЛЕКЦИИ Тема 8. Z-преобразование сигналов и системных функций. http://geoin.org/dsp/ davpro@yandex.ru C:\Stancho\books\Math\AppliedMath\Math For Engineers\dsp В къщи, долу, вдясно C:\Stancho\books\Math\Algebra\Ru\Cliford\9808_121.pdf СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ В.В. Сильвестров Чувашски държавен университет "И. Н. Ульянов" mp689.pdf Д. Д. Ивлев, О двойных числах и их функциях, Матем. просв., 1961, выпуск 6, 197–203 В къщи, долу, вдясно C:\Stancho\books\Math\Algebra\Clifford_Algebra\1306.1660v1.pdf Екхард Хитцер Въведение в геометричната алгебра на Клифорд 2011
В.В. Сильвестров, СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ, Чувашски държавен университет "И. Н. Ульянов"
В.Д. Д. Ивлев, О двойных числах и их функциях, Матем. просв., 1961, выпуск 6, 197–203
Екхард Хитцер Въведение в геометричната алгебра на Клифорд 2011

	1	i	j	k	I	J	K	E
1	1	i	j	k	I	J	K	E
i	i	1	K	-J	E	-k	j	I
j	j	-K	1	I	k	E	-i	J
k	k	J	-I	1	-j	i	E	K
I	I	E	-k	j	-1	-K	J	-i
J	J	k	E	-i	K	-1	-I	-j
K	K	-j	i	E	-J	I	-1	-k
E	E	I	J	K	-i	-j	-k	-1

	1	i	j	k	I	J	K	E
1	1	i	j	k	I	J	K	E
i	i	1	K	-J	E	-k	j	I
j	j	-K	1	I	k	E	-i	J
k	k	J	-I	1	-j	i	E	K
I	I	E	-k	j	-1	-K	J	-i
J	J	k	E	-i	K	-1	-I	-j
K	K	-j	i	E	-J	I	-1	-k
E	E	I	J	K	-i	-j	-k	-1

Геометрично произведениe в ς3

Геометрично произведениe в ς3 - отговори, доказателства, връзки и литература

Геометрично произведениe в ς₃

Геометрично произведениe в ς₃ - отговори, доказателства, връзки и литература

	1	i	j	k	I	J	K	E
1	1	i	j	k	I	J	K	E
i	i	1	K	-J	E	-k	j	I
j	j	-K	1	I	k	E	-i	J
k	k	J	-I	1	-j	i	E	K
I	I	E	-k	j	-1	-K	J	-i
J	J	k	E	-i	K	-1	-I	-j
K	K	-j	i	E	-J	I	-1	-k
E	E	I	J	K	-i	-j	-k	-1