Какво трябва да знаем?
Точково и колибково произведение на вектори
Колибково ( външно) произведение на взаимно перпедикулярни вектори r вектора ще наричам "r-трион" или трион от степен r.
Ще използваме и наименованието "прост r-вектор".
За триона
изпълнени свойствата:
За да намерим външното произведение на два триона – от степен k и l трябва да видим дали те имат общи вектори.
Ако е така то произведението е равно на нула.
Ако не - трябва да подредим множителите, като спазваме противоразместителното свойство.
Пример:
.
Колибковото произведение на няколко перпендикулярни помежду си вектори е равно на тяхното геометрично произведение.
Колибковото произведение на базисните вектори може да се въведе и чрез определящите отношения:
Същото се отнася и за другите три базисни вектора.
Освен това, базисните вектори се противоразместват:
Външното произведение на трион от два вектора се свързва с площта, определена от тях, а на три вектора - с обема.
Всеки k-вектор се представя като сума от k-триони или прости k-вектори.
Намерете външното произведение
.
?
Всеки двувектор от ς3 се представя като един 2-трион:
?
В алгебрите от по-висок ред не всеки бивектор се представя като един 2-трион.
Например такова представяне е невъзможно за
от ς4 .
?
Скаларното произведение се обобщава не само за вектори а за вектор и трион.
По дефиниция, то е тази част от геометричното произведение,
която е много-вектор от степен с единица по-малка от степента на триона.
В така дефинираното скаларно произведение, обикновено, векторът се записва пред триона.
, където A1i са детерминантите
?
Докажете равенството
,
като използвате полученото представяне на смесеното произведение чрез детерминанти.
?
Докажете тъждеството
като развиете детерминантата
?
Ще докажем тъждеството
.
?
Като непосредствено следствие от равенството
,
се получава, че ако векторът c е перпендикулярен на a^b то
Ако векторът c е колинеарен на двувектора a^b , то c.(a^b)
се получава като завъртим вектора c на 90 градуса в положителна посока в равнината a^b и
полученият вектор умножим по произведението на дължините на
векторите a и b .
?
Скаларното произведение на вектор и двувектор е равна на това произведение на проекцията на вектора върху равнината,
определена от двувектора:
Скаларното произведение на вектор и тривектор е двустепената проекция на геометричното им произведение:
Ще докажем тъждеството:
?
Нашата цел е да обобщим точковото и колибковото произведение за триони и да разгледаме свойствата на тези,
обобщени произведения. Да започнем с дефинициите и основните свойства:
Ако Ak и Bl са, съответно, k и l триони,
тяхно скаларно и колибково произведение се нарича |k-l| и |k+l| векторът в
геометричното произведение AkBl .
Нека Ak е k-вектор.
Скаларно произведение на вектора a с Ak е (k-1) - вектора в геометричното
произведение aAk . Означава се с a.Ak.
Ще докажем тъждеството
.
Нека A2 = a^b като a и b са перпендикулярни помежду си вектори.
Геометричното произведение cA2 се състои от вектор и тривектор, които са равни, съответно на
c.A2 и c^a^b.
Да разложим вектора c на сума от вектор – линейна комбинация на векторите
a и b и на друг, който е перпендикулярен на тях:
Понеже, скаларните квадрати са реални числа, те се разместват с другите множители в произведенията.
Векторите a и b са перпендикулярни, така че a^b = ab = - ba .
За изходното геометрично произведение, след изнасяне на ab извън скоби, получаваме:
От последните равенства следва и доказуемото.
Ако Ak е k-трион и векторът a е линейна комбинация на на съставящите
Ak триони вектори, то
?
Ще покажем, че
?
Ето основните формули, изведени досега:
Очертава се полезен принцип.
Преобразуваме известно тъждество, касаещо геометричните произведения, в точкови и колибкови произведения, чиито степени
можем да определим.
След това приравняваме членовете с еднакви степени от двете страни на равенството.
Използвайки този принцип ще докажем съдружителността на колибковото произведение, като използваме същата за геометричното.
?
Уговаряме се, че точковото и колибковото произведение имат приоритет пред геометричното.
При тази уговорка ca.b = c(a.b) и ca^b = c(a^b) .
Това ще ни освободи от необходимостта от досадното поставяне на скоби.
По-нататък основно ще използваме противоразместителните свойства за точково и колибково произведение на вектори:
Използвайки получените тъждества за точково и колибково произведение на вектор с трион получаваме:
Нека a и b са вектори а Ak е k-трион.
Ще докажем тъждеството за k-трион:
.
В записа на тъждеството сме използвали приоритета на точковото произведение пред геометричното.
Тази формула се нарича " опростяваща ( редукционна) формула".
?
Нека m и n са естествени числа, като 0 < m < n а Am и Bn са m и n-триони.
Тогава е изпълнено тъждеството:
?
Покажете че:
?
Намерете неизвестния вектор x от уравнението:
?
Нека B2 е 2-трион: B2 = (b1^b2).
Решете уравнението:
?
Решете системата уравнения спрямо x.
?
Докажете тъждествата:
?
Докажете равенството на Бернули:
?
Какво ще научим: