Какво трябва да знаем?

Точково и колибково произведение на вектори

Колибково ( външно) произведение на взаимно перпедикулярни вектори r вектора ще наричам "r-трион" или трион от степен r.
Ще използваме и наименованието "прост r-вектор". За триона r-трион –Tr1 изпълнени свойствата:
свойства на трионите—Tr2
За да намерим външното произведение на два триона – от степен k и l трябва да видим дали те имат общи вектори.
Ако е така то произведението е равно на нула. Ако не - трябва да подредим множителите, като спазваме противоразместителното свойство.
Пример: Пример –Exmpl1 .
Колибковото произведение на няколко перпендикулярни помежду си вектори е равно на тяхното геометрично произведение.
Колибковото произведение на базисните вектори може да се въведе и чрез определящите отношения: Свойство на трионите –Tr3
Същото се отнася и за другите три базисни вектора. Свойство на трионите –Tr4
Освен това, базисните вектори се противоразместват: Свойство на трионите –Tr5
Външното произведение на трион от два вектора се свързва с площта, определена от тях, а на три вектора - с обема.
2-трион –Tr6
Всеки k-вектор се представя като сума от k-триони или прости k-вектори.
Намерете външното произведение Задача1—Pr1I0 . ?
Всеки двувектор от ς3 се представя като един 2-трион: Задача2—Pr2I0 ?
В алгебрите от по-висок ред не всеки бивектор се представя като един 2-трион.
Например такова представяне е невъзможно за Двувектор —Pr3I0 от ς4 . ?
Скаларното произведение се обобщава не само за вектори а за вектор и трион.
По дефиниция, то е тази част от геометричното произведение, която е много-вектор от степен с единица по-малка от степента на триона.
Скаларно произведение на вектор с трион – ScV1Trk1
В така дефинираното скаларно произведение, обикновено, векторът се записва пред триона. Скаларно произведение на вектор с двутрион -- ScV1Trk2 , където A1i са детерминантите Координатите на двутриона—_2V1 ?
Докажете равенството Скаларно произведение на вектор с бивектор -ScMultV1XV21, като използвате полученото представяне на смесеното произведение чрез детерминанти. ?
Докажете тъждеството Скаларно произведение на вектор с бивектор -ScMultV1XV21 като развиете детерминантата Детерминанта--Pr6I0 ?
Ще докажем тъждеството Смесено произведение – колибково и точково -Pr7I0 . ?
Като непосредствено следствие от равенството Скаларно произведение на вектор с бивектор -ScMultV1XV21, се получава, че ако векторът c е перпендикулярен на a^b то Следствие –Col1
Ако векторът c е колинеарен на двувектора a^b , то c.(a^b) се получава като завъртим вектора c на 90 градуса в положителна посока в равнината a^b и полученият вектор умножим по произведението на дължините на векторите a и b . ?
Скаларното произведение на вектор и двувектор е равна на това произведение на проекцията на вектора върху равнината, определена от двувектора: Проекция  ---Proection_1
Скаларното произведение на вектор и тривектор е двустепената проекция на геометричното им произведение:
Проекция  ---Proection_2
Ще докажем тъждеството:       Тройно геометрично произведение—TrGMult1 ?
Нашата цел е да обобщим точковото и колибковото произведение за триони и да разгледаме свойствата на тези, обобщени произведения. Да започнем с дефинициите и основните свойства:
Ако Ak и Bl са, съответно, k и l триони, тяхно скаларно и колибково произведение се нарича |k-l| и |k+l| векторът в геометричното произведение AkBl .
Нека Ak е k-вектор.
Скаларно произведение на вектора a с Ak е (k-1) - вектора в геометричното произведение aAk .   Означава се с a.Ak.
Ще докажем тъждеството       Скаларно произведение на вектор с двутрион—ScV1TrK2_2.
Нека A2 = a^b като a и b са перпендикулярни помежду си вектори. Геометричното произведение cA2 се състои от вектор и тривектор, които са равни, съответно на c.A2 и c^a^b.
Да разложим вектора c на сума от вектор – линейна комбинация на векторите a и b и на друг, който е перпендикулярен на тях:
Геометрично произведение—GeomPr_1
Понеже, скаларните квадрати са реални числа, те се разместват с другите множители в произведенията.
Векторите a и b са перпендикулярни, така че a^b = ab = - ba .
За изходното геометрично произведение, след изнасяне на ab извън скоби, получаваме:
Геометрично произведение -GeomPr_2
От последните равенства следва и доказуемото.
Ако Ak е k-трион и векторът a е линейна комбинация на на съставящите Ak триони вектори, то Задача 10 –Pr10I0 ?
Ще покажем, че Скаларно произведение Pr11I0 ?
Ето основните формули, изведени досега:
Формули—Frmulas1
Очертава се полезен принцип.
Преобразуваме известно тъждество, касаещо геометричните произведения, в точкови и колибкови произведения, чиито степени можем да определим.
След това приравняваме членовете с еднакви степени от двете страни на равенството.
Използвайки този принцип ще докажем съдружителността на колибковото произведение, като използваме същата за геометричното. ?
Уговаряме се, че точковото и колибковото произведение имат приоритет пред геометричното.
При тази уговорка ca.b = c(a.b) и ca^b = c(a^b) .
Това ще ни освободи от необходимостта от досадното поставяне на скоби.
По-нататък основно ще използваме противоразместителните свойства за точково и колибково произведение на вектори:
Противоразместителни равенства за вектори—AntiCom1
Използвайки получените тъждества за точково и колибково произведение на вектор с трион получаваме:
Противоразместителни равенства за вектор и трион—AntiCom2
Нека a и b са вектори а Ak е k-трион. Ще докажем тъждеството за k-трион: Редуциращо тъждество--ReductScBlade1. В записа на тъждеството сме използвали приоритета на точковото произведение пред геометричното.     Тази формула се нарича " опростяваща ( редукционна) формула". ?
Нека m и n са естествени числа, като 0 < m < n а Am и Bn са m и n-триони. Тогава е изпълнено тъждеството: Редуциращо тъждество –RedEq1 ?
Покажете че:
Задача --Pr16I0 ?
Намерете неизвестния вектор x от уравнението: Задача --Pr17I0 ?
Нека B2 е 2-трион: B2 = (b1^b2).       Решете уравнението: Задача Pr18I0 ?
Решете системата уравнения спрямо x. Задача -Pr19I0 ?
Докажете тъждествата:       Задача Pr20I0 ?
Докажете равенството на Бернули:         Задача -Pr21I0 ?

Какво ще научим: