Точково и колибково произведение на вектори - отговори, доказателства, връзки и литература


Какво трябва да знаем?

Какво трябва да знаем:    
Алгебра на Клифорд ςn
Геометрично произведениe в ς3
Висша алгебра

Назад

Намерете външното произведение Задача1—Pr1I0.

Задача1—Pr1I1

Назад
Всеки двувектор от ς3 се представя като един 2-трион: Задача2—Pr2I0
За получаването на това равенство е използвано, че векторите a = (0, c, -b), b = (-c, 0, a) и c = (b, -a, 0) са перпендикулярни на вектор с координати (a, b, c).
Такъв, перпендикулярен вектор е и тяхната линейна комбинация Перпендикулярен вектор —Pr2I1.
Параметрите са подбрани така, че външно произведение—Pr2I2.
Назад
В алгебрите от по-висок ред не всеки бивектор се представя като един 2-трион.
Например такова представяне е невъзможно за Двувектор —Pr3I0 от ς4 .

Ако това е възможно и Външно произведение —Pr3I1 от това, че коефициентът пред Външно произведение —Pr3I2 е нула следва, че Външно произведение —Pr3I3.
Така се доказва, че координатите на двата вектора са пропорционални.
Но тогава изходното равенство е невъзможно, защото лявата част е нула.
Назад
Скаларно произведение на вектор с двутрион -- ScV1Trk2 , където A1i са детерминантите Координатите на двутриона—_2V1
Скаларно произведение –ScV1TrK2_3

Назад
Докажете равенството Скаларно произведение на вектор с бивектор -ScMultV1XV21, като използвате полученото представяне на смесеното произведение чрез детерминанти.
Двувектор —Pr5I1
Остава да използваме груба сила.
Назад
Докажете тъждеството Скаларно произведение на вектор с бивектор -ScMultV1XV21 като развиете детерминантата Детерминанта--Pr6I0
Смесено произведение --Pr6I1
Добавяйки подходящи събираеми и извършвайки групиранията в скобите получаваме:
Смесено произведение – колибково и точково--Pr6I2
Отделяйки скаларните произведения достигаме до търсеното равенство:
Смесено произведение – колибково и точково--Pr6I3

Назад
Ще докажа тъждеството Смесено произведение – колибково и точково -Pr7I0 .
Представяме коефициентите пред базисните вектори като детерминанти:
Смесено произведение---Pr7I1

Назад
Ако векторът c е колинеарен на двувектора a^b , то c.(a^b) се получава като завъртим вектора c на 90 градуса в положителна посока в равнината a^b и полученият вектор умножим по произведението на дължините на векторите a и b .
Избираме a и b такива, че да бъдат перпендикулярни помежду си и колибковите произведения на двете двойки да бъдат равни.
Ще изразим смесеното произведение, като използваме това, че c е линейна комбинация на a и b:
Линейна комбинация --Pr8I1

Ще покажем, че смесеното произведение е перпендикулярно на c: Перпендикулярност ---Pr8I2
И накрая, ще намерим дължината на c:
За дължината ---Pr8I3

Назад
Ще докажа тъждеството:       Тройно геометрично произведение—TrGMult1
Тройно геометрично произведение— Pr9I1

Назад
Ако Ak е k-трион и векторът a е линейна комбинация на на съставящите Ak триони вектори, то Задача 10 –Pr10I0
Поради това, че векторите в триона са взаимно перпендикулярни, то
k-трион– Pr10I1
Геометрично произведение– Pr10I2
От друга страна:
Геометрично произведение – Pr10I3

Назад
Ще докажа, че Скаларно произведение Pr11I0
Геометрично произведение-- Pr11I1
Оттук следва и доказуемото равенство.
Назад
Ще докажа съдружителността на колибковото произведение, като използвам същата за геометричното.
Скаларно произведение Pr12I1
Приравнявайки членовете от степен 3 получаваме доказателството на съдружителността на колибковото произведение.
Назад
Ще докажем тъждеството за k-трион: Редуциращо тъждество--ReductScBlade1. В записа на тъждеството сме използвали приоритета на точковото произведение пред геометричното.     Тази формула се нарича " опростяваща ( редукционна) формула".
Използваме противоразместителното свойство за вектори: Задача Pr14I1
В дясната част на равенството прилагаме същото свойство за геометричното произведение на вектор и трион Задача -- Pr14I2 и получаваме:
Задача -- Pr14I3

Изразяваме събираемите, съдържащи точкови произведения: Задача -- Pr14I4
В дясната част разлагаме геометричното произведение на вектор с трион като сума на точково и колибково:
Задача Pr14I5
Точковите произведения в първите квадратни скоби може да се разглежда като k-1 трион или по-общо като сума на k-1 триони, така че то е равно на Задача-Pr14I6
Подобни разсъждения се прилагат и за второто събираемо: Задача-Pr14I7
Получаваме: Задача-Pr14I8
Да разгледаме геометричното произведение Задача-Pr14I8_1
То се състои от сума от k-вектор и (k-1)-вектор , като първият е равен на Задача-Pr14I8_2 а вторият на Задача -- Pr14I8_3
Приравнявайки k-векторите в равенството Задача-Pr14I8_4 получаваме: Задача-Pr14I8_5
Правейки това и за (k-1) –векторите стигаме до странното равенство: Задача-Pr14I8_6
Назад
Нека m и n са естествени числа, като 0 < m < n а Am и Bn са m и n-триони. Тогава е изпълнено тъждеството: Редуциращо тъждество –RedEq1
Ще разгледам частни случаи, за да си изясня положението в което се намирам.
Нека m=1, n=2:
Тогава тъждеството изглежда така: Задача  -- Pr15I1
Разглеждам геометричното произведение, за което е изпълнено: Задача --Pr15I2
В геометричното произведение желая да отделя 0-векторите: Задача --Pr15I3
Събираемото от степен 3 може да се изключи, защото умножено с A1 триона ще получа два многовектора - от степен 4 и 2 а мен ме интересуват 0-векторите.
Задача ----Pr15I4
След постигнатия успех ще разгледам случая, при който m=2, n=1.
Тогава тъждеството изглежда така: Задача --Pr15I5 Задача --Pr15I6
В геометричното произведение желаем да отделим двувекторите: Задача --Pr15I7
В този случай събираемото от степен 2 не може да се изключи, защото умножено с A2 триона ще получа два многовектора - от степен 4 и 2.
Назад
Покажете че:
Задача --Pr16I0

Използваме, че Задача --Pr16I1 при m < n и след това равенството: Скаларно произведение на вектор с бивектор -ScMultV1XV21
Задача --Pr16I2
За второто тъждество използваме редуциращото равенство Редуциращо тъждество--ReductScBlade1.
За доказване на третото тъждество използваме вече полученото второ.
Назад
Намерете неизвестния вектор x от уравнението: Задача --Pr17I0
Умножаваме двете страни на уравнениеето скаларно по неизвестния вектор и получаваме, че Задача --Pr17I1
Заместваме в уравнението и намираме неизвестния вектор.
Назад
Нека B2 е 2-трион: B2 = (b1^b2).
Решете уравнението: Задача Pr18I0

Да умножим двете страни на уравнението колибково по B.
x.B е линейна комбинация на векторите, съставящи B.
Следоватилно x.B^B = 0 и получаваме, че       Задача Pr18I1
Изразяваме геометричното произведение xB: Задача -Pr18I2
Назад
Решете системата уравнения спрямо x. Задача -Pr19I0
Задача -Pr19I1
Задача -Pr19I2

Назад
Докажете тъждествата: Задача Pr20I0
За първото тъждество е достатъчно да приложим равенството: Редуциращо тъждество –RedEq2.
За второто тъждество използваме противоразместителното свойство.
Назад
Докажете равенството на Бернули:         Задача -Pr21I0

Достатъчно е да използваме тъждеството:  Задача -Pr21I1
Назад


Какво ще научим:    
Представяне на ς3 като четири-мерна алгебра над C
Сметало за алгебрата ς3
Висша алгебра
Алгебрата на Клифорд ς3

Литература
    C:\Stancho\books\Math\Algebra\Clifford_Algebra\En\ToRead: [David_Hestenes]_New_foundations_for_classical_mec(BookZZ.org).pdf
  1. Давид Хестенс "Нови основи на класическата механика"
Назад