Какво трябва да знаем?

Обратими елементи в ς3

Станчо Вълканов Павлов      

    Ако v е ненулев вектор, то той е обратим спрямо геометричното произведение. Обратният му е v-1 = v / v2 .     Всеки ненулев 2-вектор също има обратен.     Например I-1 = -I .     Ще намеря обратния на произволен ненулев вектор и 2-вектор. ?
    Числата от вида a+bE са комплексните числа в ς3 .     Елементите от ς3 могат да се представят като елементи от C4 :
Представяне на хиперчисло като четиримерен комплексен вектор—Cliff_C4_1
Тогава α се представя като Представяне на хиперчисло като четиримерен комплексен вектор-- Cliff_C4_2 , където αi са комплексни числа.
Последните три събираеми образуват тремерен вектор над полето на комплексните числа C , който ще означим с V .     Хиперчисло—HiperNumber1 , където V е тримерен вектор с комплексни координати. Числото α0 също е комплексно.
Ако Хиперчисло—HiperNumber2 и Хиперчисло—HiperNumber3 са два елемента от алгебрата ς3, където Векторни части на хиперчислото—VectPart1 , то Произведение на две хипер-числа –Product1 , като Произведение на две хипер-числа--Product2
В частен случай, при α0 = 0 получаваме: Квадрат на хипер-число—Square1
      Ако Хиперчисло—HiperNumber1 и комплекното число Знаменател--Denominator1 е различно от 0 то α е обратим елемент, като Реципрочно число - Reciprocial     Числото в знаменателя е комплексно, и реципрочното му също е такова. То се представя представя се във вида a+bE.     Елементите от алгебрата, за които не съществуват обратни са тези, за които Знаменател--Denominator1 е равно на нула.       Ще разгледам два случая α0≠0 и α0=0.   Нека координатите на вектора V са комплексните числа (x, y, z) и α ≠ 0 .
Нормиране—Norming1
Така, че можем да считаме, че α0=1 и че сумата от квадратите на комплексните координати на вектора V е 1.
Да отделим реалните части на (x, y, z) в един вектор r а имагинерните в друг - s.
Реална и имагинерна част—RealImaginerePart1
От това равенство следва, че двата вектора са ортогонални и техните дължини съответстват на хиперболичен косинус и синус от един и същ аргумент.
    Ако p е едно от числата ( 1 ± i ) / 2 , ( 1 ± j ) / 2 или ( 1 ± k ) / 2 то p е идемпотентен елемент: p2 = p.
Ако q е едно от числата ( i ± K ) / 2 , ( j ± I ) / 2 или ( k ± I ) / 2 то q е нилпотентен елемент: q2 = 0.
Край

Какво ще научим:

Обратими елементи в ς3 - отговори, доказателства, връзки и литература

Какво трябва да знаем?
Алгебра на Клифорд ςn         Геометрично произведениe в ς3                   Висша алгебра
Назад
Обратният на ненулев вектор и 2-вектор.
Обратни числа на едно и двувектори- Inv1
Назад
    Ако p е едно от числата ( 1 ± i ) / 2 , ( 1 ± j ) / 2 или ( 1 ± k ) / 2 то p е идемпотентен елемент: p2 = p.
Ако q е едно от числата ( i ± K ) / 2 , ( j ± I ) / 2 или ( k ± I ) / 2 то q е нилпотентен елемент: q2 = 0.
Идемпотентен елемент _2_1Idemp1
И другите случаи се разглеждат подобно на този.
Сега за q:       Нилпотентен елемент --_2_2Nilp1
Назад


Какво ще научим:    
Сметало за алгебрата ς3
Представяне на ς3 като четири-мерна алгебра над C
Глава девета Унарни ( единични) операции в ς3 и тяхната връзка с бинарните (двойните)
Глава десета Обръщането в ς3 		Висша алгебра