Какво трябва да знаем?

Представяне на ς3 като четири-мерна алгебра над C

ς3 съдържа подмножество, изоморфно на на комплексните числа – елементите от вида a+bE, където a и b са реални числа а E е лъже-скалара E = ijk.   По нататък няма да правим разлика между комплексните числа и числата a+bE от ς3 .   Тези комплексни числа се разместват с всички елементи на алгебрата.
    Но в нея има още три кандидати за комплексни единици – 2-векторите I, J и K .
Да разгледаме числата ai+bj от равнината ( i, j ), приличащи на комплексните поради равенството:
Ако zi = xii + zij при i=1,2 то Произведение на числата от равнината K=(i,j) –ijPlane1
Произведението се извършва по начин, подобен на този при комплексните числа, като имагинерната единица е заменена с 2-вектора K.
Ще придам по-голяма точност на тази прилика чрез равенството (iz1)(iz2) = i(z1z2) , което определя изображение множеството от числата от вида z = ai+bj в комплексните числа от вида a+bK чрез z → iz .
Ако в Z = { ai + bj } въведем произведение ".C" чрез       Произведение на числата от K=(i,j) –ijPlane2 , то
i(z1 .C z2) = (iz1)(iz2) , което показва, че изображението е изоморфизъм на полета спрямо въведената операция.
От друга страна, ако α = cosφ+sinφK , то умножаването на елемент от Z с α отляво осъществява завъртане елемента z от Z на ъгъл φ в ранината K = ( i , j ).
Откривайки и свойството Произведение с комплексно-спрегнато –Conugate1 ние достигаме до познатите места, тълкуващи завъртането в геометрията на ς2 :
Rφ(z) = e-Kφ/2 z eKφ/2 .
Да видим какво става с векторите, успоредни на k при това преобразование.
С буквите c и s ще означаваме cosφ/2 и sinφ/2 .
От равенството (c-sK)k(c+sK) = k следва, че Rφ(k) = k и Rφ(ak) = ak .
Тогава       Експоненциална форма -ExpFrm1       осъществява завъртане в равнината K = (i, j) на вектора v на ъгъл φ .
За да завъртим произволен вектор, а не само от равнината K = (i, j) трябва да го разложим на сума от проекцията му в равнината и на вектор, перпендикулярен на нея. И след това да завъртим проекцията. За да осъществим този план е необходимо за произволна равнина да намерим представяне, подобно на това за равнината (i, j). Предоставям това на читателя. ?
Да се върнем отново към гледището, че числата от вида a+bE са комплексните числа в ς3 .
Елементите от ς3 могат да се представят като елементи от C4 .
Представянето на алгебрата на Клифорд като алгебра над комплексните числа C4_1
Тогава α се представя като       Представянето на алгебрата на Клифорд като алгебра над комплексните числа -C4_2       , където αi са комплексни числа.
Последните три събираеми образуват тремерен вектор над полето на комплексните числа C , който ще означим с V . Те образуват така наречения паравектор. Представката "пара" е от гръцки произход и означава "извън".
Тогава Алфа –Alpha1.
Ако Алфа -Alpha2 и Бета –Beta1 са два елемента от алгебрата ς3, където Два вектора над полето на комплексните числа--_2Vect1, то
Произведение—Product1,
където             Два вектора над полето на комплексните числа --_2Vect2
В частен случай, при α0 = 0 получаваме: Квадрат на елемент от алгебрата на Клифорд –Square1
Ако Алфа –Alpha1 и комплекното число Комплексна норма –ComplNorm1 е различно от 0 то α е обратим елемент, като Обратно число на елемент от алгебрата на Клифорд –Inverse1
Комплексното число Комплексна норма –ComplNorm1 ще наричам "комплексна норма" на α и ще го означавам с |α|C .
Теорема |αβ|C =|α|C . |β|C
Комплексна норма—ComplNorm2,
понеже
Смесено произведение –MixedPr1
и E се размества с елементите на алгебрата.
От друга страна Произведение от норми –PrOfNorms1.
Тогава: Норма от произведение -- NormsOfPr1 , които е очевидно.

Какво ще научим: