Какво трябва да знаем?
Пръстен - дефиниция
Нека е дадена адитивна и комутативна група R.
Нека в R е дефинирано и асоциативно умножение, подчиняващо се на законите:
a(b+c)=ab+bc
(a+b)c=ac+bc
Множеството R с така въведените две операции, подчиняващи се на описаните закони се нарича пръстен.
Ако в пръстена R съществува единица спрямо умножението R се нарича пръстен с единица.
Ако произведението в R е комутативно пръстенът R се нарича комутативен пръстен.
Комутативният пръстен R е поле ако всеки различен от нула елемент от R притежава реципрочен спрямо умножението.
Елементът ε от пръстена R с единица се нарича обратим или "единичен" ако съществува негов реципрочен
ε-1 :
εε-1 = ε-1ε = 1R
.
Множеството от обратимите елементи на R образува мултипликативна група, която се означава с R* .
Тази група се нарича още "група на единиците" в R.
Два елемента a и b от пръстена R се наричат асоцирани ако съществува обратим елемент
ε от R за който a = bε.
Релацията асоцираност (~) е релация на еквивалентност.
?
Елементът a от пръстена R се нарича ляв делетел на нулата ако съществува b≠0 от R, такъв, че ab = 0.
Нулата е делител на нула и се нарича тривиален делител на нула.
Пръстен с единица, без нетривиални делители на нула се нариича област на цялостност.
R е област на цялостност ако
1 ∈ R ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 .
Елементите от пръстена, които не са делители на нула се наричат регулярни.
Подпръстен на пръстена R се нарича подмножество на пръстена R
което е пръстен спрямо дефинираните в пръстена R операции.
Подпръстена не е задължително да притежава единица, ако в пръстена R има такава.
{0} и R са подпръстени на пръстена R . Те се наричат тривиални подпръстени.
Подпръстена I в пръстена R се нарича ляв идеал
ако за всяко r от R и всяко i ∈ I е изпълнено ri ∈ I.
Накратко: rI ⊆ I. Аналогична е дефиницията за десен идеал.
Ако пръстена е комутативен двете понятия съвпадат.
Ако един идеал е едновременно ляв и десен той се нарича двустранен идеал.
Означаваме с rR множеството от елементи ra , където a е произволен елемент от R.
Това множество е десен идеал.
?
Идеал от вида rR се нарича главен идеал.
Изобщо множеството от вида
{r1R + r2R +...+ rnR }
е десен идеал, който се означава с
< r1, r2, ... , rn >
и се нарича
породен от елементите
r1, r2, ... , rn .
Нека са дадени два пръстена R и R' .
Изображението φ : R → R' от R в R' се нарича хомоморфизъм на пръстени ако за всеки
a и b от R и R' е изпълнено:
φ(a+b) = φ(a)+φ(b) и
φ(ab) = φ(a)φ(b) .
Всеки хомоморфизъм изобразява нулевият елемент на R в нулевият елемент на R'.
?
Противоположният на a от R се изобразява в противоположният елемент на образа на
a от R' : φ(-a) = -φ(a).
?
Образът на R е подпръстен на R' .
?
Ако в R има единица то и във φ(R)
има такава и реципрочния на обратим елемент от R се изобразява в реципрочния на образа от
φ(R)
?
Ядро хомоморфизъма φ се нарича множеството от елементи на R изобразяващи се в нулевият елемент на R'.
Ядрото се означава с Ker(φ).
Доказва се, че ядрото Ker(φ) е едновременно и ляв и десен идеал в R.
?
Какво ще научим?