Какво трябва да знаем?

Всеки пръстен с единица притежава максимален идеал


лема на Куратовски-Цорн
Всеки пръстен R с единица притежава максимален идеал
Във формулировката не се указва дали той е ляв, десен или двустранен.   Но това няма значение, защото теоремата е вярна и в трите случая.   В доказателството ще имаме предвид левите идеали.
Максимален идеал на R е такъв собствен идеал M, който не се съдържа в друг, собствен идеал на R.
Pict1 Максимален идеал
Subset1 Условие за максимален идеал
Прилагаме лемата на Куратовски-Цорн.
Нека P е множеството на всичките собствени идеали на R.
В множеството P въвеждаме наредба: считаме, че идеалът I предхожда J ако I ⊆ J.
Срямо тази наредба P не е линейно наредено множество, защото има несравними идеали.
Pict2 --Несравними идеали
Нека сега T е подмножество на P, което е линейно наредено.
Това означава, че за всеки два елемента Ti и Tj от T е изпълнено Ti ⊆ Tj или Tj ⊆ Ti .
Ще покажем, че линейно нареденото подмножество на P, означено с T, притежава горна граница в P.
Нека UT е обединението на идеалите съдържащи се в T: Union1 –Обединение на идеалите, съдържащи се в T
Ще покажем, че UT е идеал на пръстена R.
Ако a и b принадлежат на обединението UT , то съществуват идеали I и J от T, за които a ∈ I и b∈J.
Понеже T е линейно наредено множество спрямо отношението “подмножество”, то или I ⊆ J или J ⊆ I.
Да предположим, че I ⊆ J.
Тогава a и b принадлежът на идела J.   Тяхната сума е от идеала J и следователно от обединението UT .
Нека a е елемент от UT и r е произволен елемент от R.
Съществува идеал J от UT , на който a е елемент.
Понеже J е ляв идеал то ra принадлежи на J а от там и на UT .
Сега ще покажем, че UT е собствен идеал в R, или което е същото, принадлежи на P.
Ако UT = R то UT ще съдържа единицата на R, която ще означим с 1R .
Тогава 1R ще принадлежи на някой идеал от множеството T и този идеал няма да е собствен, защото IEqR - - Условие за това, идеалът да е несобствен .
Така показахме, че всяко линейно наредено подмножество на P притежава горна граница от P.
По лемата на Куратовски-Цорн P ( множеството от собствени идеали на R ) притежава максимален елемент по отношение на включването.
Този максимален елемент е от P и следователно е максимален собствен идеал на пръстена R.
(Той не се съдържа в друг, собствен идеал на R.)
Какво ще научим?