Как от едни идеали се получават други - отговори и доказателства

Обединението на два идеала не винаги е идеал

Обединението не винаги е абелева група спрямо събирането в R.
Например, обединението на идеалите (6) и (5) в Z не съдържа числото 6+5=11.


"Как от едни идеали се получават други" - Назад!

Всеки идеал се явява сума от главни идеали

Те са породени от неговите членове.


"Как от едни идеали се получават други" - Назад!

Ако обединението на два идеала е идеал то единият е подмножество на другия

Нека A и B са идеали на пръстена R.
Ако A ⊈ B и B ⊈ A то съществуват елементи а от A , който не принадлежи на B и друг b, който е от B но не е от A.
Понеже сумата a+b е от обединението на A и B, тя ще принадлежи на някой от двата идеала.
Ако a+b е от A то b също е от A, понеже A е адитивна група. – Противоречие!
Подобно, невъзможно е и a+b да е от B.


"Как от едни идеали се получават други" - Назад!

Сечението на идеали е идеал

Intersect1—Сечение на идеали
Да означим сечението на идеалите Ij с I.
Ако a и b принадлежат на сечението I то и двата елемента принадлежат на всеки от идеалите Ij .
Тогава и тяхната сума принадлежи на Ij за всяко j и следователно и на идеалът I.
Нека r е произволен елемент от пръстена R и отново i е елемент от сечението I.
Тогава r.i принадлежи на всеки от идеалите Ij а следователно и на сечението I.


"Как от едни идеали се получават други" - Назад!

Произведението на два двустранни идеала е двустранен идеал

Нека двата идеала са I и J.
Елементите на произведението I.J са суми от произведения от вида i.j, където i и j са съответно от I и J.
Ясно е , че сумите на произведения от този вид образуват адитивна група.
Ако r е елемент от пръстена R то r.(I.J)⊆ I.J.
Само произведенията от вида i.j не образуват адитивна група.
Идеалът I.J е подмножество на сечението I ∩ J.
IdMult1—Произведението на два идеала е подмножество на тяхното сечение


"Как от едни идеали се получават други" - Назад!

За частното на два идеала са изпълнени свойствата:

IdQuotient2— Свойства на частното на два идеала
Доказателство на 1.
( I : S ) се състои от тези елементи на пръстена x, за които Sx е подмножество на идеала I.
Неговите елементи удовлетворяват това свойство.

Доказателство на 2.
( I : S) : T ) се състои от тези x, за които Tx е подмножество на ( I : S ) и следователно STx е подмножество на I.

Доказателство на 3.
Sx е подмножество на сечението на Ii а следователно и на всяко от тях.

Доказателство на 4.
Ще докажем твърдението за сума от два идеала.
Ако ( J1+J2 )x ⊂ I то и J1x⊂ I или x ∈ (I : J1 ). Подобно се доказва, че и x ∈ (I : J2 )
Обратно: Ако J1x ⊂ I и J2x⊂ I то ( J1+J2 )x⊂ I , откъдето ( I: (J1 +J2 ) )

Доказателство на 5.
Ако x е от (I : J) J то x = jx1 където x1 е от (I : J). Тогава jx1 принадлежи на I.


"Как от едни идеали се получават други" - Назад!

Радикалът Rad_I1 --Радикал на идеал на I в пръстена R притежава следните свойства: Rad_I2 – Свойства на радикалът


Към доказателството на 2.
Ще докажем че радикалът на I е абелева група:
Proof1_Радикалът е абелева група
Към доказателството на 3.
От 1. Следва, че
RadRad1 Свойство на радикалът
Обратното включване е ясно.


"Как от едни идеали се получават други" - Назад!