Какво трябва да знаем?

Как от едни идеали се получават други

Сума от идеали

Ако в пръстена R е дадено семейство от идеали Iα , то тяхна сума Σ Iα се нарича минималният идеал, който съдържа всички идеали от семейството.
Сумата се състои от всевъзможните суми на елементите от обединението на идеалите Iα.
Summ1—Сума от идеали

Самото обединение не винаги е идеал. ?     Всеки идеал се явява сума от главни идеали. ?
Често сумата от идеали се нарича техен най-голям общ делител.
Пример: В Z идеалът (6) + (4) се състои от числата a6+b4, които са кратни на 2.     Т.е. (6) + (4) = (2).

Обединението на два идеала не е идеал


Например обединението на кратните на 5 и на 6 в Z не съдържа сумата 5+6=11.
Ако обединението на два идеала е идеал то единият е подмножество на другия. ?

Сечението на идеали е идеал


За пръстена R не предполагаме нито че е комутативен, нито че съдържа единица.     Нека Ij е семейство от идеали на пръстена R, където j∈J, където J е множество от индекси.     Тогава сечението на всички идеали от семейството Ij е също идеал на R.
Intersect1—Сечение на идеали ?

Произведението на два двустранни идеала е двустранен идеал ?

IdMult1—Произведението на два идеала е подмножество на тяхното сечение

Частно на два идеала

Нека R е комутативен пръстен и I и J са негови идеали.   Тяхното частно се определя с равенството: IdQuotient1—Частно на два идеала
Частното се състои от тези елементи x на пръстена R , за които Ix ⊆ J . То образува идеал в пръстена R.
Частното се означава още и с ( J : I ).     I-10 се нарича анулатор на идеала I.
За частното на два идеала са изпълнени свойствата: IdQuotient2— Свойства на частното на два идеала ?

Радикал на идеал

Нека R е комутативен пръстен и I е негов идеал.
Радикал на идеала I на пръстена R се нарича множеството: radI1 – радикал на идеала I. Радикалът на I се означава още и с r(I).
Радикалът Rad_I1 --Радикал на идеал на I в пръстена R притежава следните свойства: Rad_I2 – Свойства на радикалът ?
Пример: Нека R=F(x) - пръстенът от полиноми над полето F с променлива x.
Радикалът на идеала <x> е равен на <x>:   RadxEqx1—Радикал на главен идеал
Ако идеалът съвпада със своя радикал той се нарича радикален идеал.
Радикалът на нулевия идеал r(0) се нарича нилрадикал на пръстена.     Той се състои от неговите нилпотентни елементи.
Комутативен пръстен без нилпотентни елементи освен нула ( пръстен с нулев нилрадикал ) се нарича радикален.
Какво ще научим?