Какво трябва да знаем?
Идеали на пръстени
Десен идеал на пръстена R с единица е подмножество на R, което е подгрупа на адитивната група на R,
за което за всеки елемент i от I и всеки елемент r на пръстена R произведението ir принадлежи на I.
Аналогична е дефиницията за ляв идеал.
Двустранен идеал на пръстена R с единица 1R се нарича идеал, който е едновременно ляв и десен.
Примери:
{0} и R са идеали в R. Те се наричат несобствени .
Идеалът I съдържа единицата на пръстена R тогава и само тогава, когато I = R.
?
Собствени идеали са тези, не съвпадат нито с {0} нито с R.
Множеството 6Z, състоящо се от числата кратни на 6 е идеал в пръстена на целите числа Z.
6Z не е пръстен с единица, защото не съдържа единица.
Делителите на нулата в комутативен пръстен образуват двустранен идеал.
?
Ако I е двустранен идеал в пръстена R се дефинира фактор-пръстена R/I , състоящ се от елементите r + I.
Определенията на операциите събиране и умножение са:
| (a+I)+(b+I) = (a+b)+I |
| (a+I)(b+I) = (ab)+I |
Единицата в R/I е 1R+I.
Ако φ : Q → R е хомоморфизъм на пръстените Q и R то Ker(φ) – множеството на изобразяващите се в 0R
елементи на Q образуват идеал в пръстена Q.
Крайно-породени идеали
Нека R е пръстен и i1, i2, i3, ... in са негови елементи.
Тогава множеството I = < i1, i2, i3, ... in > =
{ r1i1 + r2i2 + r3i3 + ... + rnin } ,
където r1, r2, r3, ... rn са произволни елементи на пръстена R образува ляв идеал в R.
Елементите i1, i2, i3, ... in се наричат негови пораждащи или образуващи.
Ако идеалът е породен от единствен елемент i той се нарича главен идеал.
Област на цялостност
Комутативен пръстен с единица, без делители на нула се нарича област на цялостност.
Област на цялостност е пръстенът на целите числа Z.
Област на цялостност е и пръстенът на полиномите с коефициенти от Z(x).
Не всеки идеал на област на цялостност е главен.
Например в пръстена на полиномите над целите числа, полиномите с четен свободен член образуват идеал, който не е главен.
?
Всяка област на цялостност може да се допълни до поле от частни, но това заслужава отделна страница.
Област на главни идеали
Област на цялостност в която всеки идеал е главен се нарича област на главни идеали.
В област на главни идеали подидеал означава кратност: Ако (a) ⊆ (b) то a е кратно на b.
Т.е. съществува елемент k на пръстена R, такъв че a = kb.
?
Нека R е област на главни идеали. Тогава всяка растяща от идеали в R се стабилизира.
?
Прости идеали
Един идеал P на пръстена R е прост, ако за всеки два елемента a и b от пръстена R от ab∈P следва, че a∈P или b∈P.
Един собствен идеал M на пръстена R се нарича максимален, ако той не се съдържа в друг собствен идеал.
При максималните идеали е невъзможно да съществуват междинни идеали в истинския смисъл на думата между тях и пръстена.
В област на главни идеали всеки прост идеал е максимален.
?
Примарен идеал
Простите идеали съответстват на идеалите, породени от прости числа в множеството на целите числа Z.
< p > е прост идеал в Z тогава и само тогава, когато от ab ∈ < p > и a
не принадлежи на < p > следва, че b ∈ < p > .
Примарните идеали съответстват на идеалите Z породени от степен на просто число.
P е примарен идеал ако от ab∈P и a не принадлежи на P, то съществува естествено число n, такова че bn ∈P.
Примитивен идеал
Нека P е максимален ляв идеал и M е максималният двустранен идеал, съдържащ се в P.
M се нарича ( ляво-) примитивен и се означава с R..P .
Какво ще научим?