Какво трябва да знаем?

Дефиниции на област на цялостност и на евклидов пръстен

В тази страница ще разглеждаме пръстени в които има нула и единица и те са различни.
Нека R е пръстен и a и b са два негови ненулеви елемента, такива че тяхното произведение е нула.
Тогава a и b се наричат делители на нулата.
Пример: ZerroDiv1 –делители на нулата.
Пръстенът Z6 – остатъците при деление на 6 също притежава делители на нулата - 2 и 3.
Обратимите му елементи се състоят от тези остатъци по модул 6, които са взаимно прости с 6.
В некомутативен пръстен е възможно ab=0 но ba да е различно от 0! ?
Ако за два елемента e и ε от пръстена R с единица 1R е изпълнено eε=1R то e и ε се наричат обратими.
Един елемент a на пръстена R се нарича нилпотентен ако съществува такова естествено число n, за което an = 0R .
Един елемент e на пръстена R се нарича идемпотентен ако е2 = е .
Нека 1R е единицата на пръстена R.
Тази единица може да бъде събирана сама със себе си, понеже пръстенът R е адитивна група.
Най-малкото естествено число n, за което n1R = 0R се нарича характеристика на пръстена R.
Ако такова n не съществува то пръстенът R се нарича пръстен с безкрайна характеристика.

Област на цялостност

Комутативен пръстен с единица без делители на нулата се нарича област на цялостност.
Ако пръстенът R е област на цялостност то неговата характеристика е просто число. ?

Евклидови пръстени

Нека (R, +, .) е област на цялостност с нула 0R.
Нека ν : RN∪{0, −∞} е функция за която:
  1. ν(a)=−∞ ⇔ a=0
  2. За всеки a,b∈R, b≠0R, съществуват q, r∈ R ( частно и остатък ) за които : a = q.b+r така че ν(r) < ν(b) или r = 0R .
( Частното и остатъкът може да не са еднозначно определени! )
Тогава ν се нарича Евклидова норма а пръстенът R - Евклидов пръстен.
Примери:
Целите числа образуват Евклидов пръстен с ν(x) = |x| ( x≠0) .
Полиномите върху поле F[X] са Евклидов пръстен с норма ν(f)=deg(f) .
Целите гаусови числа Z(i) образуват Евклидов пръстен с норма ν(a+bi) = |a2+b2|. ?
Какво ще научим?