Светът ще се свърши, книгата - никога.
Какво трябва да знаем:     Числа         За Книгата „Елементи” от Евклид  
Най-голям общ делител и най-малко общо кратно      
Деление на естествени числа с частно и остатък   		Математика в училище
"Аз-Ижица" - Съдържание

Решаване на уравнението ax+by=d
в цели числа чрез алгоритъма на Евклид

Ще решаваме уравнението от заглавието при условие, че d е най-големият общ делител на a и b.
Да разгледаме пример, когато a и b са взаимно прости числа.
Ще решим уравнението 118x+51y=1
Извършваме старателно писменото деление на a на b с частно и остатък
И по-нататък прилагаме алгоритъма на Евклид за намиране на най-големия общ делител
                 
Подреждаме резултатите прилежно в таблица "( делимо, делител) → ( частно, остатък)":
Делимото е равно на частното по делителя плюс остатъка.
По-нататък последователно представяме остатъците във вида r =118.x+51.y намирайки x и y.
За да не изтървем нещата и желаейки да получим изчислително правило, означаваме 118 с „a” а 51 с „b”.
С много усилия получихме равенството 16.118 - 37.51=1
Да допуснем, че сме получили представяне от вида
Делим предния остатък на новополучения с частно и остатък за да получим следващия:
Заместваме rn и rn-1 от получените преди това представяния:
и изразяваме rn+1:
Зависимост, която се опитваме да изразим със схемата:
Отново подреждаме нещата и отново „прилежно” в таблица:
Да видим как те стоят с 118 и 51.
Забелязвате, че дописахме една нула и единица, за да започнем използването на рекурентното правило от третия ред.
Първият ред е 1 и частното от делението на числото a на числото b.
Така получаваме равенството 1=16.118-37.51
Ето схемата отново
Да я приложим за най-големия общ делител (2) за числата 110 и 24

Да проверим : 2=110.(-5) + 24.23
Наистина!

Какво ще видим и ще научим:    
Сметало за намиране на най-голям общ делител и най-малко общо кратно
Решаване на уравнението A.X+B.Y=(A,B) в полиноми чрез алгоритъма на Евклид 		Математика в училище
Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"