Китайската теорема за остатъците

Китайска теорема за остатъците

Ще започнем с една задача:
В един взвод имало незнаен брой войници. Ако се строят в колона по двама оставал един войник. Ако се строят в колона по трима също оставал един войник. И така било за колоните по четирима, петима и шестима. Колко са били войниците във взвода? ?
От Древността е известна друга, подобна задача, включена в съчинение на индийския математик Брахмагупта ( 598-670 ) в неговото съчинение „Брахма спхута сидханта” (Усъвършенствано учение на Брахма ).
Ето я задачата:
Стара жена носела кошница с яйца за пазара. Млад конник я блъснал, без да иска, и яйцата се разбили в калдъръма. Конникът попитал учтиво жената колко яйца носила в кошницата. Тя не помнела точно колко били но знаела, че когато ги брояла по две едно яйце оставало. Същото се получавало когато ги брояла по четири, пет и шест. Но когато ги брояла по седем не оставало нито едно яйце. Колко най-малко са били яйцата? ?
Използвайки сравненията, задачата може да се изрази така:

В интернет друга задача се обявява за задачата на Брахмагупта. Коя е оригиналната – не знам:
Младо момиче носело яйца за продан на пазара. Млад конник, без да иска, ( а може би нарочно ) ударил кошницата и всички яйца се счупили. Понеже той искал да плати пропуснатите ползи, попитал момичето колко са били яйцата. Девойката е чела страницата за сравнения и му е отговорила по следния начин:

Конникът казал, че той знае колко са били яйцата. А Вие? ?

Но историята е още по-стара.

В трети век след Христа се появява книга на китайския математик Сун-цзи ( да не се бърка със своя адаш, авторът на "Изкуството на войната", живял през шести век след Христа) се среща такава задача:
Има определени неща, чийто брой е неизвестен. Ако те се разделят на групи по три остават две. Ако се разделят на групи по пет остават три а разделени на групи по седем остават две. Колко е броят на нещата?
Отг. 23

Учителят Сун-цзи дава следното пояснение:

Ако броим по три и остатъкът е 2 записваме 140. Ако броим по пет и остатъкът е 3 записваме 63 и ако броим по седем и остатъкът е 2 записваме 30. Съберете числата за да получите 233, и извадете 210 за да получите отговора.
140 дава остатък 2 при деление на 3 и остатък 0 при деление на 5 и 7. 63 дава остатък 3 при деление на 5 и остатък 0 при деление на 3 и 7. 30 дава остатък 2 при деление на 7 и остатък 0 при деление на 3 и 5.
Следователно тяхната сума дава истинските остатъци 2, 3 и 2 при деление на 3, 5 и 7. Понеже 3x5x7= 105 дава остатък 0 при деление на 3, 5 и 7, ние можем да извадим 105 от 233 и да получим по-малко число, което дава съките остатъци при деление на 3, 5 и 7. Ако извадим от 233 числото 105 два пъти ще получим най-малкото решение 23.
Но защо избираме все пак 105? Не е ли по-просто да изберем 35 – число което дава остатък 0 при деление на 5 и 7 и остатък 2 при деление на 3?

Мъдрият Сун-цзи продължава обяснението

Ако броим по три и остатъкът е 1 записваме 70. Ако броим по пет и остатъкът е 1 записваме 21. Ако броим по седем и остатъкът е 1 записваме 15.
Вероятно Учителят е започнал с 70=2 х (5 х 7), защото това е най-малкото общо кратно на 5 и 7, даващо остатък 1 при деление на 3. След това е умножил с 2 за да получи число с остатък 2 при деление на 3. Числата 63 и 30 могат да бъдат обяснени по подобен начин. Най-малкото число кратно на 3 и 7, даващо остатък 1 при деление на 5 е 21=3 х 7. Затова 63 = 3 х (3 х 7) е кратно на 3 и 7, което дава остатък 3 при деление на 5 .
По подобен начин 15 = 3 х 5 е най-малкото число, кратно на 3 и 5, което дава остатък 1 при деление на 7, затова 30 е най-малкото кратно на 3 и 5, което дава остатък 2 при деление на 7.
И тук възниква интересният въпрос. Ако Учителят Сун-цзи е имал пред вид, че това е общ метод, той е трябвало да знае, че съществува число, кратно на 5 и 7, даващо остатък 1 при деление на 3.
Знаел ли е Той това? Това число сега се нарича реципрочно на 3x5=35 при деление на 3. Може би това е първият случай в математиката, в който се появява необходимостта от тези реципрочни.
Методът на Сун-цзи в своята пълнота е изложен в трактата на Цин Цзю-Шао в 1247 година.
Той е решил ключовата задача за намирането на реципрочни числа по модул с помощта на Евклидовия алгоритъм. Цин Цзю-Шао е нарекъл този алгоритъм „начин за намиране”.
И накрая една задача, която няма голяма връзка с китайската теорема но е от това семейство.

Задача за петте пирата и маймуната

Пет пирата и една маймуна, след корабокрушение, попаднали на необитаем остров. Събрали кокосови орехи, които щели да разделят на пет равни части на сутринта.
Един от пиратите, който нямал доверие на останалите, се събудил вечерта и взел своята една пета. Останал един орех, който дал на маймуната. Своята една пета той заровил в яма.
Същото направили и останалите четирима пирати. И при всеки от тях оставал един орех при делението на пет, който те давали на маймуната. Своята една пета (както си мислели ) те заравяли на скрито място.
На сутринта те се събрали около намалялата купчина. Разделили я на пет равни част, и о чудо-останал един орех, който те дали на маймуната, както направил и всеки един от тях през нощта.
Колко орехи получила маймуната? Колко е най-малкият брой орехи, за който това е възможно? Колко орехи е получил всеки от пиратите за този най-малък възможен брой? ?
Какво ще научим?