Какво трябва да знаем?

Числа
За Книгата „Елементи” от Евклид
Сравнения - дефиниция

Теория на числата
Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"

Назад

В един взвод имало незнаен брой войници.

Ако се строят в колона по двама оставал един войник. Ако се строят в колона по трима също оставал един войник. И така било за колоните по четирима, петима и шестима.
Колко са били войниците във взвода?
Решение:
Взвод от един войник изпълнява условието на задачата, но тук става дума за войници.
Ако умножим броят на войниците в колоните от условието: 2.3.4.5.6=720 ще получим идеален взвод, който може да се строява в колона по двама, трима, четирима и петима и по шестима без да остава нито един войник без да е в някоя колона.
Тогава взвод от 720+1=721 войника удовлетворява условието на задачата.
Не може ли този брой да се намали?
Да, като забележим, че числата 2, 3, 4 и 6 не са взаимно прости.
Числото 3.4.5=60 също се дели на 2, 3, 4 и 6 без остатък и всяко по-малко от него, без нулата, не изпълнява това условие.
Броят на войниците в взвода е 61.
Точка!
Назад

Стара жена носела кошница с яйца за пазара.

Млад конник я блъснал, без да иска, и яйцата се разбили в калдъръма.
Конникът попитал учтиво жената колко яйца носила в кошницата.
Тя не помнела точно колко били но знаела, че когато ги брояла по две едно яйце оставало.
Същото се получавало когато ги брояла по четири, пет и шест.
Но когато ги брояла по седем не оставало нито едно яйце.
Колко най-малко са били яйцата?
Решение:
Да означим броят на яйцата с x.
x-1 е кратно на 2, 3, 4 и 5. Най малкото такова число е 60.
Тогава x е от вида k.60+1.
Понеже x е кратно на 7, пробвайки различни стойности на k намираме най-малката такава: k=5. Тогава x=301.
Яйцата са били 301.
Назад

Младо момиче носело яйца за продан на пазара.


Млад конник, без да иска, ( а може би нарочно ) ударил кошницата и всички яйца се счупили.
Понеже той искал да плати пропуснатите ползи, попитал момичето колко са били яйцата.
Девойката е чела страницата за сравнения и му е отговорила по следния начин: Cong2
Конникът казал, че той знае колко са били яйцата.
А Вие?
Решение:
Нека яйцата са били x. x+1 се дели на 60. Тогава x е от вида x=60k-1.
Най малкото k, такова, че x да се дели на 7 е k=2.
Яйцата са били 119.
Назад

Пет пирата и една маймуна, след корабокрушение, попаднали на необитаем остров.

Събрали кокосови орехи, които щели да разделят на пет равни части на сутринта.
Един от пиратите, който нямал доверие на останалите, се събудил вечерта и взел своята една пета. Останал един орех, който дал на маймуната. Своята една пета той заровил в яма.
Същото направили и останалите четирима пирати. И при всеки от тях оставал един орех при делението на пет, който те давали на маймуната. Своята една пета (както си мислели ) те заравяли на скрито място.
На сутринта те се събрали около намалялата купчина. Разделили я на пет равни част, и о чудо-останал един орех, който те дали на маймуната, както направил и всеки един от тях през нощта.
Колко орехи получила маймуната?
Колко е най-малкият брой орехи, за който това е възможно?
Колко орехи е получил всеки от пиратите за този най-малък възможен брой?
Решение:
Ще покажем, че броят на кокосовите орехи е от вида x=5st-4.
Нека в началото орехите да са били x. x трябва да е от вида 5k-4. ( Същото е да кажем, че 5k+1, но първото означение води до успех а другото до трудности! )
След като първият пират е дал орех на маймуната и е взел своята една пета са останали Frm1.
Това число също трябва да дава остатък -4 при деление на 5, за да може и вторият пират да направи същото.
Тогава k се дели на 5 откъдето x=52t-4. Първият пират е получил Frm2.
Останали са Frm3 ореха.
Вторият пират дава орех на маймуната, взема своята една пета и останалите орехи са Frm4.
Да може и третия пират да направи същото t трябва да се дели на 5.
Тогава t трябва да се дели на 5 и орехите в началото са били от вида x=53t-4.
Понеже пиратите са пет на брой и има още едно деление, най-малкият брой орехи е x=56-4.
Назад
Какво ще научим?

Решаване на уравнението ax+by=d, където d = (a,b), в цели числа чрез алгоритъма на Евклид

Теория на числата
Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"
Литература:
http://natalibrilenova.ru/blog/989-kitayskaya-teorema-ob-ostatkah.html
Назад