Какво трябва да знаем:    
Полиноми     Пълен диферинциал  
Числени методи на алгебрата

Метод на Берстоу

Станчо Вълканов Павлов
stancho_pavlov@yahoo.com

Намиране на частните производни на остатъка от делението на полином с квадратния тричлен x2-px-q спрямо p и q

Нека при делението на P(x) с посочения квадратен тричлен с коефициенти p и q се получава частно Q(x) и остатък Ax+B.
Нашата цел е да опишем числен метод, който при дадени конкретни стойности на p и q да определи числено частните производни на A и B. Частни производни --PartDer1
Численият метод е важен с цел конструиране на метод ( на Берстоу) за числено намиране на корените на полином – реални или комплексни.
Частно и остатък --QuoRem1
Да диференцираме спрямо q , като имаме предвид в главата си, че спрямо q x е константа и че A и B зависят от p и q.
Коефициентите на P(x) са дадени константи и от p и q те не зависят, за разлика от коефициентите на Q (x):     Нулева частна производна --Zero1
Диференцирайки дясната страна получаваме:     Диференциране --Der1
Частната производна на квадратния тричлен спрямо p е x     Равенство --Eq1
Прехвърляйки Q(x).x от другата страна получаваме:     Прехвърляне -Tr1
От единствеността на частното и остатъка при деление на полиноми заключаваме, че Остатък --Rem1 е остатък от делението на полинома Q(x).x с нашия, добър познат квадратния тричлен x2-px-q.
А сега да извършим подобни операции ( диференцирайки спрямо q ) с цел да получим подобен резултат.

Диференциране --Der2

Ако извършим изчисленията ще достигнем до извода, че     Остатък --Rem2 е остатък от делението на Q(x) с квадратния тричлен.

Метод на Берстоу за числено намиране на корените на полином – реални или комплексни

Целта на метода е да се намерят такива числа p и q за които квадратния тричлен D(x) = x2-px-q е делител на полинома P(x).
Да започнем с произволен, начален избор на двойката (p,q) - (p0 ,q0).
Първият кандидат за делител на P(x) е квадратният тричлен D0(x) = x2-p0x-q0 .
Прилагаме разширената схема на Хорнер, за да определим частното Q0(x) и остатъка A0x+B0.
Прилагаме същата схема за полиномите Q0(x).x и Q0(x) , за да определем частните производни
Частни производни --PartDer2
Използваме формулата за нарастванията за до изразим стойностите на A и B.
Първо приближение-- FirstProx1
Приравняваме на нула с надежда да получим нулев остатък.
Система --Sys1
От получената система определяме     Делта p и q --Delta1 .
Следващото приближение е
Следващо приближение --NextProxi1

сър Леонард Берстоу (1880-1963)
Сър Леонард Берстоу (1880-1963)
Виден английски математик с голям принос в аеродинамиката.
Неговите изследвания са били водещи в развитието на самолетостроенето в Англия след първата световна война.


Какво ще научим:       Числени методи на алгебрата