Правило на Декарт за знаците

Какво трябва да знаем: Сравнения – дефиниция
Теоремата на Болцано за непрекъснатите функции Полиноми Разширената схема на Хорнер

Числени методи на алгебрата

Правило на Декарт за знаците

Станчо Вълканов Павлов
Нека V(P) е броят на смяната на знаците на коефициентите на полинома

без да се отчитат нулевите коефициенти.
Нека още R(P) е броят на положителните нули на полинома P(x), отчетени с тяхната кратност
Тогава:

R(P(x)) и R(P(x)) са от една и съща кратност.

В революционното съчинение „Геометрия”, когато става дума за „нулите” на полином Рене Декарт пише:
„Ние можем да определим положителните и отрицателните корени на произволно уравнение по следния начин: Уравнението има толкова положителни корени, колкото са смените на знаците, от + към – или от – към + и толкова отрицателни корени, колкото два + -а или два - -а се срещат последователно. Няма и намек за доказателство.
Това изречение е основа на твърдението, известно като „Правило на Декарт за знаците”:

Броят на положителните нули на полином е по-малък или равен на смяната на знаците на редицата от коефициентите му.
Броят на положителните „нули” и този на смяната на знаците са с еднаква четност.

Твърдението се споменава в курса по „Висша алгебра” но рядко се доказва.
Подобни твърдения се считат за старомодни за съвременния, аксиоматичен начин на изложение.
На картинката е описан случая с квадратно уравнение. b и c са положителни числа.

Без ограничение на общността ще считаме че полиномът е нормиран:

Време е да броим!
Да започнем с две прости наблюдения

Ако a₀ е отрицателно, то V(P) е нечетно.
Ако a₀ е положително, то V(P) е четно.

Т. е. четността на V(P) не зависи от знаците на междинните коефициенти.

II.
Можем да направим подобно заключение и за броят на положителните корени на полинома P - R(P).

Ако a₀ е отрицателно, то R (P) е нечетно.
Ако a₀ е положително, то R(P) е четно.

Ето два примера за отрицателен свободен член и нечетен брой на положителните корени.

Положителен старши коефициент и отрицателен свободен член--Pict3

Трябва да се има предвид, че броят на корените се отчита с тяхната кратност.
Ще докажем твърдението по метода на математическата индукция спрямо степента на полинома - n.
При n = 1 и n = 2 случаите вече са разгледани.
Допускаме, че твърдението „Ако a₀ < 0 то R (P) е нечетно. Ако a₀ > 0 то R(P) е четно. ” е вярно за всеки нормиран полином от степен n.
Нека P(x) е нормиран полином от n+1-а степен
А) Нека a₀ < 0 .
От теоремата на Болцано за непрекъснатите функции следва, че P(x) има поне един положителен корен в интервала

.
Да го означим с p. Тогава P(x)=Q(x)(x-p).
Свободният член на Q(x) е ще бъде положителен и от индукционното допускане R(Q(x)) ще бъде четно число.
Тогава R(P(x)) ще e нечетно.
Б) Нека a₀ > 0
Тогава е възможно P(x) да няма корени в интервала

.
Ако е така твърдението е доказано, понеже нулата е четно число.
Ако R(x) има положителен корен p то P(x)=Q(x)(x-p) и свободният член на Q(x) е ще бъде отрицателен.
От индукционното допускане R(Q(x)) ще бъде нечетно число а R(P(x)) - четно.
Обединявайки I. и II. стигаме до извода, че

III.
Ще покажем, че ако p е положително число то

Да предположим в началото, че полиномът P(x) не съдържа нулеви коефициенти.
Схематично ще го означаваме така:

Сега да извършим умножението с (x-p) по разширената схема на Хорнер имайки предвид, че p е положително. Вариациите на знаците са означени със синьо-зелено–Tbl2

Вариациите на знаците са означени със синьо-зелено–Tbl2

На мястото на неясните знаци при произведението P(x)(x-p) сме поставили питанки.
Първият знак на произведението е + а последният знак е -.
Забелязваме, че при смяна на знаците в коефициентите на P(x) вторият знак се запазва в P(x)(x-p).
Но тогава каквито и да бъдат знаците на местата на питанките смените на знаците могат само да се увеличат.
Следователно

Понеже четностите на R(P(x)(x-p)) и R(P(x)) са различни, а те от своя страна са равни на тези на V(P(x)(x-p)) и V(P(x)) то числата V(P(x)(x-p)) и V(P(x)) не могат да бъдат равни.
Следователно

Наличието на нули не променя ситуацията. С нули—WithZeroes1

IV.
Ще покажем, че

Нека

където p₁, p₂, ... ,p_n са положителните корени на P(x)=0.
Нека P_k са полиномите, получени от P с премахване на първите k множителя от вида (x-p_i).

Тогава между 0 и V(P) има поне R числа – колкото е броят на положителните „нули” на P(X) – число, което означихме с R(P(x)).
Следователно

Пример:
Да разгледаме полинома

a_i > 0 с единствен положителен коефициент – първия а всички останали коефициенти са отрицателни.

Понеже V(P) и R(P) имат еднаква четност то R(P) = 1 и полиномът P(x) има един положителен корен.
Следователно R(P)=1
Същото се отнася и за

. a_i > 0

Рене Декарт (латинско име - Ренатус Картезиус) (31 март 1596 – 11 Февруари 1650)
Френски философ и математик – основоположник на научния метод. Заедно с Ферма се считат за основоположници на аналитичната геометрия. Едно от приложенията на основния труд на Декарт - „Изследване на метода” се нарича „Геометрия”. В него той показал как могат да се използват алгебричните пресмятания в геометрията и обратно. По ирония на историята той не е въвел „Декартовата” координатна система. Това е направено от Ферма.
Рене Декарт е бил ревностен католик и въпреки това е обвинен от йезуитите в ерес. Част от произведенията му са преведени на български в поредицата „Философско наследство” – “Рене Декарт - Избрани философски произведения" -1978г. изд. Наука и изкуство.

Какво ще научим:
Ограничения за реалните нули на полином

Числени методи на алгебрата