Какво трябва да знаем:    
Умножаване на матрици     Обратна матрица   Характеристичен полином  
Метод на Гаус за намиране на обратна матрица   		Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"

Фробениусова нормална форма на матрица

Станчо Вълканов Павлов
stancho_pavlov@yahoo.com

Елементарни матрици и техните свойства

Да умножим i -тия ред на единичната матрица числото λ и да го прибавим към j-тия ред. (i≠j)
Така се получава елементарната матрица, която ще означаваме с Eij(λ).
Елементарна матрица –ElME1
Другият вид елементарни матрици, които ще разглеждаме се получават от единичната чрез размяната на i-тия ред с j-тия. Тях ще означаваме с Iij .
Умножаването на A с Eij(λ) отляво е еквивалентно на умножаване на i-тия ред на A с λ и прибавянето му към j-тия ред.
Разбира се Eij(0)=E, но ние предполагаме, че λ≠0.
Към семейството на елементарните матрици ще прибавим и матрицата Di (λ), получена от E чрез умножаване на i-тия ред с λ.
Тук отново предпорагаме, че λ≠0
Ще намерим обратните матрици на изброените.
Обратна матрица–ElME_11
Eij(λ) може да се получи от единичната чрез умножаване на i-тия стълб с λ и прибавянето му към j–тия.
Умножаването на матрицата A с Eij(λ) отляво е еквивалентна на умножаване на i-тия ред на A и прибавянето му към j-тия.
Елементарна матрица --–ElMEA1
А умножаването отдясно - на умножаване на j-тия стълб на A с λ и прибавянето му към i-тия.
Елементарна матрица –ElMAE1
Обратни матрици–InvD_1
Умножаването отляво на A с Di(λ)е еквивалентно на умножаването на i-тия ред на A а отдясно - на j-тия стълб.
Умножаването отляво с Iij е еквивалентно на размяна на двата реда на A а отдясно-на съответните два стълба.

Всяка неособена матрица е произведение на елементарни матрици.
Обоснавката на това е метода на Гаус за намиране на обратна матрица.

Получаване на подобни матрици чрез елементарните

Да повторим основните правила, които са ключови за този раздел.
  1. Умножаването на A с Eij(λ) отляво е еквивалентно на умножаване на i-тия ред на A с λ и прибавянето му към j-тия ред.
    Умножаването на A с Eij(λ) отдясно е еквивалентно на умножаване на j-тия стълб на A с λ и прибавянето му към i-тия.

  2. Умножаването на A с Di (λ) отляво е еквивалентно на умножаване на i-тия ред на A с λ.
    Умножаването на A с Di (λ) отдясно е еквивалентно на умножаване на i-тия стълб на A с λ.

  3. Умножаването на A с Iij отляво е еквивалентно на размяната на съответните редове а отдясно на стълбовете.
Ако започнем от две единични матрици и към едната прилагаме преобразувания определени с елементарните матрици по редове а към другата обратните – преобразувания по стълбове, на съответните обратни матрици, ще получаваме две взаимно-обратни матрици.
Пример:
Пример за получаване на две взаимно обранти матрици – Exmpl1
Матрицата A е подобна на матрицата B ако съществува такава, неособена матрица T, че B=T-1AT.
Нашата непосредствена цел е по удобен начин да получаваме матрици подобни на A чрез елементарните матрици.
Постъпваме така: Да отбележим, че поради асоциативността на умножението на матрици редът на извършване на действията няма значение.
Пример:
Пример за получаване на две, взаимно обратни матрици –Exmpl2
Освен от матрицата B - подобна на A се интересуваме и от неособената матрица T.
Тогава е удобно да приложим следната схема:
  1. Над матрицата A разполагаме единична матрица. Такава разполагаме и отляво на A.
    Начално разполагане на матриците--EAE_1
  2. След това преобразуванията по стълбове извършваме върху вертикално разположените две матрици а съответните, обратни преобразувания по редове - върху хоризонтално разположените.
В резултат на това се получават едновременно матриците B, T и T-1 .
Окончателно разположение на матриците –TBT_1
B=T-1AT

Пример:
Ще извършим тези процедури с матрицата Матрица за преубразуване –Matr1

Допълваме матрицата с две единични матрици по указания начин:
Допълване с единичните матрици –AddE1
Умножаваме първата, разширена колона с -2 и я прибавяме към втората.
Извършваме и съответното, обратно преубразование по редове.
Действията по редове и стълбове—Col1
Действито по стълбове е извършенол Остава действието по редове –Row1
Окончателно –AtLast1
Така се получават матриците B, T и T-1 .

Фробениосова клетка и нормална форма на матрица


Матрица ( клетка) на Фробениус се нарича матрица от вида
Матрица на Фробениус –FrobMatr1
Нейния характеристичен полином е Характеристичен полином –Char1 На всеки полином може да се съпостави матрица на Фробениус и в този случай тя се нарича съпровождаща матрица.
Да повторим: Фробениусова клетка се нарича такава квадратна матрица, при която в първия ред се съдържат произволни елементи, под главния диагонал елементите са единици а всички останали елементи са нули.
Клетка на Фрабениус –CellFr1
Използва се понятието клетка а не матрица, защото разглежданията са в по-широк смисъл.
Нашата цел е да докажем, че всяка квадратна матрица е подобна на матрица, по диагонала на която са раположени Фробениусови клетки а останалите места са заети от нули.
Всяка матрица може да се представи така –FrobRepp1
Започваме от позиция (n, n-1).
Ако елемента an n-1 е различен от 0 го преобразуваме в 1 чрез умножаване на n-1-ия стълб с 1/an n-1 .
Не забравяме да приложим и обратното преобразувание върху n-1-ия ред.
Две взаимнообратни преобразувания --_2InvConv1

Ако елемента an n-1 е равен на 0 разменяме n-1 -ия стълб с подходящ, стоящ вляво от него.
Не забравяме да приложим и обратното преобразувание върху съответните редове.
Две взаимнообратни преобразувания --_2InvConv2
След като получим в позицията на an n-1 единица умножаваме n-1-ия стълб по подходящи числа и го прибавяме към останалите с цел последния ред да получи желания вид - (0,0,0,...,0,1,0).
Преобразувания по стълбове –Col2
Обратните преобразувания засягат само n-1-ия ред и оставят последния непроменен.
Преобразувания по редове. Те не променят последния ред --Row2
След това постъпваме по аналогичен начин с клетката (n-1, n-2).
Ако в една от позициите за преработка (n-k, n-k-1) се съдържа 0 и нулеви са позициите вляво от нея приключваме със съставянето на Фробениусовата клетка и преминаваме в позиция (n-k-1, n-k-2).
По описания метод ще приведем матрицата A = Матрица за работа – MatrWork1 в подобна на нея Фробениусова клетка.

Записваме матрицата A и над и вдясно от нея единичните матрици.
Допълваме с единичните матрици –AddE2
Умножаваме втория стълб по -1 с цел в позиция (3,2) да се получи 1.
Извършваме и обратното преобразувание с втория ред.
Резултата—Res1
Отбелязване на две взаимнообратни преобразувания за извършване --_2InvConv3
След като в клетката (3,2) е получена единица умножаваме втория стълб по подходящи числа и го прибавяме към останалите за да получим в последния ред (0,1,0).
Не забравяме и обратните преобразувания.
Отбелязване на взаимнообратните преобразувания --_2InvConv4

Първото действие.
Резултата –Res2
И второто.
Резултата –Res3

Умножаваме първия стълб по 1/5 за да получим в клетка (2,1) единица.
Извършваме и обратното преобразувание - умножаване на първия ред по 5.
Резултата –Res4

Умножаваме първия стълб по -6 и го прибавяме към втория.
След това по 35 и прибавяме към третия.
Извършваме и обратните действия.
Отбелязване на взаимнообратните преобразувания --_2InvConv5

Първото действие
Резултата –Res4_1

и второто .
Резултата Res5
Ferdinand Georg Frobenius
Фердинанд Гео́рг Фробе́ниус
(1849 - 1917)
Немски математик, известен със своя принос в теорията на елиптичните функции, диференциалните уравнения и теория на групите.


Какво ще научим: Метод на Данилевски за намиране на характеристичен полином на матрица             Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"