Какво трябва да знаем:     Полиноми на много променливи   Схема на Хорнер   Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"

Симетрични полиноми

Станчо Вълканов Павлов

Елементарни симетрични полиноми

Полиномът Симетричен полином с n променливи се нарича симетричен ако заедно със всеки едночлен Старши член съдържа и едночлена получен от E със смяна на кои да са две променливи xi и xj .
Примери:
Симетричен полином –SymPol2
Симетричните полиноми Елементарни симетрични полиноми --ElSymPol1 се наричат елементарни.
Изобщо Елементарни симетрични полиноми - ElSymPol2
Индексите в произведенията трябва да са в растящ ред, без повторения.
Въпрос 1
Ако Неравенство --InEq1 колко събираеми съдържа σk ?
На колко е равно σk ако k > n ?

Брой на събираемите в елементарните симетрични полиноми – nSumands1
По дефиниция –ByDef1

Символите Σ и [ ]

Сумата и произведението на симетрични полиноми е също симетричен полином.
Следователно всеки полином от елементарните симетрични полиноми е също симетричен.
Вярно ли е обратното – че всеки симетричен полином се представя като полином от елементарните симетрични полиноми?
Оказва се че това е вярно и теоремата се нарича „основна теорема за симетричните полиноми”.
Преди да я докажем ще направим някои наблюдения.
Нека Старши член –MainMon1 е старшият член на симетричния полином f в лексикографската наредба на степените на едночлените.
Лексикографска наредба се нарича тази, която се използва в речниците.
Вавеждда се наредба сред наборите от числа Неравенство между два набора от числа –InEq2 ако за някакъв индекс k Наредба—Order1
Така въведената наредба се нарича лексикографска (речникова).
Първо се подреждат едночлените с най-висока степен на x1 .
От тях, в началото са тези с най-висока степен на x2 .
При тези с еднакви степени на x1 и x2 – в началото са тези с най-висока степен на x3 и т. н.
След като в началото са подредени едночлените с най-висока степен пред x1 по този начин аналогично се постъпва с едночлените с най-висока степен на x1 от останалите и т. н.
Пример на лексикографска наредба на едночлените на полином:
Лексикографска подредба на едночлените –Lecs1
Ще докажем следното твърдение:
При лексикографска наредба на едночлените на симетричния полином Симетричен полином-SymPol1 със старши член
Старши член –AlterMon1 е изпълнено Неравенство, изпълнено за степените показатели на старшия член-InEq1
Наистина, ако i е първият индекс, за който Неравенство—InEq2_1 чрез размяна на множителите xi и xi+1 ще достигнем до по-старши едночлен на симетричния полином. Това е в противоречие с факта, че E е старшия член.
Старшият едночлен на симетричния полином f ще означаваме с [f].
В сила е [f.g]= [f].[g] старшият член на произведението е произведение от старшите членове.
Нека за едночлена Старши член –AlterMon1 е изпълнено Неравенство, изпълнено за степените показатели на старшия член-InEq1
Със символа Символ сигма –SigmaSymbl1 ще означаваме симетричния полином със старши член E.

Пример:       Пример за симетричен полином – SymPol3

Ето още един пример:      Пример за симетричен полином – SymPol4

А тези примери са очевидни:       Хомогенни симетрични полиноми – SymPol4_1

Сумата от k-тите степени на променливите ще означаваме с pk.

Доказателство на основната теорема за симетричните полиноми

Да преминем към доказателство на основната теорема за симетричните полиноми.
Всеки симетричен полином се представя като полином от елементарните симетрични полиноми σi.
Нека f е симетричен полином и [f]=E.
Да разгледаме следния едночлен на елементарните симетричните полиноми Едночлен от елементарните симетрични полиноми –Mon1 и хомогенния полином, породен от него:
Едночлен от променливите–Mon2 .
φ1 е симетричен, хомогенен полином със старши член, равен на E.
Неговата степен е
Изчисляване на степента –PowCalc1
f1=f-φ1 .
Но тогава Наредба--Order2 .
Постъпвайки аналогично с f1 и продължавайки този процес ще получим редицата от полиноми с “намаляващи” старши членове:
Редица от старши членове –Order3
Рано или късно този намаляващ процес ще спре до нулевия полином.
Да отбележим още че ако изходния полином f е хомогенен от степен n, то всички полиноми fi са хомогенни от същата степен.
Пример 1:
Да се изрази полинома Сума от квадратите –SumSq1 като полином от елементарните симетрични полиноми.

Сума от квадратите –SumSq2
Следователно Сума от квадратите –SumSq3

Пример 2:
Да се изрази полинома Симетричен полином – SymPol5 като полином от елементарните симетрични полиноми.

Симетричен полином – SymPol5_1
Представяне чрез ел. симетр. полиноми - presentation1

Пример 3:
Да се изрази полинома Сума от кубовете –SumCub1 като полином от елементарните симетрични полиноми.

Изразяване на сумата от кубовете –SumCub2
От друга страна знаем представянето
Представяне чрез ел. симетр. полиноми - presentation1
Изразяване на сумата от кубовете –SumCub3
Изразяване на сумата от кубовете –SumCub4

Формула на Нютон за сумата от степените

Това е рекурентна формула за изразяване на сумите от степените чрез симетричните функции.
Открита е от Нютон през 1666 г. Той не е знаел, че тя е открита по-рано от френския математик Албер Жирар (1595 - 1632) през 1629 г.
Формулата е Формула на Нютон-Жирар – Newton_Gerar1
Първото доказателство е от Съветската книга „Курс высшей алгебре” с автор А. Г. Курош, издателство „Наука” 1968 г.
Ще изразяваме последователно произведенията pk-i σi и накрая ще ги съберем с алтернативни знаци.
Доказателство -Proof1NG1

Събирайки тази поредица от равенства сменяйки алтернативно знаците забелязваме, че второто събираемо от един ред се съкращава с първото от следващия.
Получаваме Доказателство -Proof1NG2
Или Формулата на Нютон – Жирар Newton_Gerar1
Да забележим, че σk при k > n е нула, така че формулата може да се редуцира при малки n.
Ще използваме тези формули за да изразим от p1 до p4 чрез σ1 до σ4.
Пример за формулата на Нютон - Жирар Newton_GerarExmpls1

Има и друго доказателство в книгата „Лекции по алгебре” с автор Димитрий Константинович Фадеев идателство СССР – Москва „Наука”
Да разгледаме полинома f от n -та степен. Доказателство -Proof2NG1 с корени x1, x2, …, xn . между които може да има и равни.
Доказателство -Proof2NG2
От формулите на Виет е известно, че Формули на Виет –Viete1 .
Да разделим полинома f на (x-xi) по схемата на Хорнер:
Схема на Хорнер –Horner1
и да съберем получените частни за Qi с цел да получим производната f' .
Коефициентът пред xn-k ще бъде :      Изразяване на производната –Der1

Да заместим сумите от j-тите степени с pj : Символите за степенните суми –PowSum1
От друга страна Производната – Der2
Сега да приравним коефициентите пред xn-k: Приравняване –Equalise1
Откъдето получаваме формулата на Нютон – Жирар -
Формулата на Нютон – Жирар --Newton_Gerar1

Има красиво детерминантно представяне сумата от n-тите степени:

Представяне с детерминанта –DetExpl1
Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"