Числа на Бернули

Якоб Бернули (1654 - 1705)

Нека k е естествено число.
Следвайки Бернули да разгледаме сумата на k–тите степени на първите n естествени числа

Да означим тази сума с S(n,k). - Първите 3 суми - Sums1

Ще докажем третото равенство:

Да дадем стойности на i от 1 до n и да сумираме получените n на брой равенства.

Извършваме съкращенията и изразяваме S(n,2)

Заместваме S(n,1) и S(n,0) с получените изрази

Опростяваме, като приведим под общ знаменател

Разлагаме на множители и - готово!

Да се опитаме да обобщим подхода

Сега да дадем стойности на i от 1 до n и да сумираме получените n на брой равенства. - Резултат от събирането -Sum1

След съкращаването се получава:

Да изразим S(n,k).

Желаем да придадем полиномен вид на S(n,k) с променлива n.

За да не участват степените на n, които се получават от първото събираемо ще придадем нов смисъл на старото означение

Формулата придобива вида:

Събирайки равенствата

като изменяме i от 1 до n-1 получаваме: - След събирането -Express4

Замествайки в получената рекурентна формула получаваме: - Първите 7 формули _7Formulas1

Коефициентите пред n се наричат Числа на Бернули.
Да напишем първите няколко

Да разгледаме реда

За пресмятане на коефициентите му препоръчваме сметалото за действия със степенни редове.
С негова помощ получихме разлагането:

Прави впечатление, че коефициентите пред нечетните степени на x с изключение на първия са нули.
Това е така защото функцията

е четна.

Числата на Бернули се получават от коефициентите на реда по формулата B_n = b_n . n!
Теорема

Доказателсдтвото се основава на разглеждането на коефициента пред x^k+1 в реда

Разкривайки скобите и групирайки членовете, съдържащи x^k+1 получаваме че търсеният коефициент е - Търсеният коефициент -Coeff1

От друга страна, преобразувайки израза

и развивайки всяко от събираемите във вторите скоби получаваме:
- Кошмар! –Seria6

Групирайки членовете, съдържащи x^k+1 получаваме, че същият коефициент е - Същият коефициент –Coeff2

Приравняваме двата израза за въпросния коефициент: -Приравняване на двата коефициента -Coeff3

Освобождаваме се от знаменателите и използваме означенията на биномните коефициенти за да получим:

Ако в този израз разделим на n и след това дадем на n стойност 0 ще получим равенството -Делим на n и заместваме n с нула –Subs01

Постъпвайки аналогично в равенството

и замествайки с полученото достигаме до рекурентната формула за числата на Бернули:

Портретът на Якоб Бернули може да бъде видян тук.