Числа на Стирлинг - литература, връзки, отговори, доказателства

Таблица, съдържаща възходящите и низходящи n-степени на z за стойности на n от 0 до 5

При тези изчисления е използвана схема, подобна на тази на Хорнер за умножаване на полином по (x-a)! Например ще изчислим z⁶ от равенството z⁶ = z⁵(z-5): Редът на получаване на числата по тази схема е обратен на реда на техните k-индекси.
От самият начин на изчисляване на s(n+1, k) от s(n, k) и s(n, k+1) е лесно да се направи заключението, че s(n+1, k) = n.s(n, k) + s(n, k-1):

Схема, подобна на схемата при триъгълника на Паскал за
получаване на новия ред от предходния и за числата на Стирлинг от първи род

Броят на пермутациите от n-ти ред, които се представят с k на брой цикъла равен на беззнаковото число на Стирлинг от първи род |s(n, n-k)|

Извършва се по индукция. За малките стойности на n и k приемаме твърдението за вярно.
Нека то е вярно и за n.
Сега да видим как може да се представи пермутация от ред n+1 като произведение от k цикъла.
Новият елемент може да се вмъкне в n на брой различни места в пермутация от n-ти ред с k цикъла. Броят на тези случаи е
Освен това, пермтация от n+1-ви ред може да се получи от такава от n-ти ред с k-1 цикъла чрез добавяне на цикъла (n+1).
Така че, броят на пермутациите от n-ти ред с k цикъла е равен на .
Тази рекурентна зависимост е същата, както при и при беззнаковите числа на Стирлинг от първи род.
Това е моето доказателство. Ако някой го намира за недостатъчно, да предложи свое.

Получаване на числата на Стирлинг от втори род

Следователно x⁵ = x⁵ + 15x⁴ + 25x³ + 10x² + x¹
Коефициентите са числата на Стирлинг от втори род при n=5.

Схема, подобна на схемата при триъгълника на Паскал,
за получаване на новия ред от предходния за числата на Стирлинг от втори род.

Да не забравяме, че първо се извършва действието умножение!

По описания начин са получени първите осем реда от таблицата на числата на Стирлинг от втори род.

Извършва се по индукция. За малките стойности на n приемаме твърдението за вярно.
Нека то е вярно и за n.
Сега да видим как може да се получи разделяне на множество, съдържащо новия елемент n+1, чрез разделяне на n-елементно множество, означено с N, на k подмножества. Новият елемент n+1 може да се вмъкне във всяко едно от тези k подмножества.
Получават се k възможности за всяко разделяне на N.
Освен това, новият елемент n+1 може да се прибави към разделянето на n-елементното множество N, разделено на k на брой подмножества като отделно множество {n+1}.
Така общо получаваме, според индукционното допускане, Тази рекурентна зависимост е същата, както при числата на Стирлинг от втори род.
Доказва се, че числото на Стирлинг от втори род е равно на броят на изображенията „върху” (сюрективните изображения ) на N елементно множество върху k елементно.

• Александер Лазарев, КОМБИНАТОРИКА, Институт по контрола към Руската академия на науките, Учебна година 2009-2010 г.
• Милан Жанжик, Върху некомбинаторнита дефиниции на числата на Стирлинг, Факултет по природните науки и матеметика, Баня Лука, Република Сърбия, Босна и Херцеговина, 2008 г. , ел. адрес agnus@blic.net, Учебна година 2009-2010
• Мохамед Нури, Няколко забележки за диференциалния оператор и обобщените числа на Стирлинг Факултет по математика, статистика и компютърни науки, П.К. 19395-5746, Техеран, Иран, ел. адреси morteza@ipm.ir, mnoori@khayam.ut.ac.ir, 2012 г.