Леонард Ойлер
(1707 - 1783)
Върху статията се работи
1 struct strPerson{
2 char EGN[11];
3 char Name[20];
4 string str_egn;
5 string str_name;
6 };
1 #include "stdafx.h" 2 #include "string" 3 using namespace std;Номерата на операторите са дадени за удобство и разбира се не се изписват в програмата.
0 void WritePr(){
1 FILE *pFile;
2 int i=0,nWr=0;
3 if( (pFile=fopen("Stancho.txt","wb")) !=NULL){
4 nWr=fwrite((void *)&nInputsG,sizeof(int),1,pFile);
5 printf("InputsG=%d",nWr);
6 for(i=0;i "по-малко от" nInputsG;i++){
7 nWr=fwrite((void *)&i,sizeof(int),1,pFile);
8 printf("i= %d",nWr);
9 nWr=fwrite(arrPersonsG[i].EGN,sizeof(char),9,pFile);
10 printf("EGN= %d",nWr);
11 nWr=fwrite((void *)&arrPersonsG[i].Name,sizeof(arrPersonsG[i].Name),1,pFile);
12 printf("Name= %d",nWr);
14 nWr=fwrite(arrPersonsG[i].str_egn.c_str(),arrPersonsG[i].str_egn.length(),1,pFile);
15 LengthOfString=arrPersonsG[i].str_name.length();
16 nWr=fwrite((void *)&LengthOfString,sizeof(int),1,pFile);
17 nWr=fwrite(arrPersonsG[i].str_name.c_str(),LengthOfString,1,pFile);
18 }
19 fclose(pFile);
20 }
21 return;
22 }
14 nWr=fwrite(arrPersonsG[i].str_egn.c_str(),arrPersonsG[i].str_egn.length(),1,pFile); 15 LengthOfString=arrPersonsG[i].str_name.length(); 16 nWr=fwrite((void *)&LengthOfString,sizeof(int),1,pFile); 17 nWr=fwrite(arrPersonsG[i].str_name.c_str(),LengthOfString,1,pFile);
0 void ReadPr(){
1 FILE *pFile;
char ch[100];
ch[100]=(char)0;
2 int i=0,j=0,nRr=0;
3 if( (pFile=fopen("Stancho.txt","r")) !=NULL){
4 nInputsG=0;
5 nRr=fread((void *)&nInputsG,sizeof(int),1,pFile);
6 printf("InputsG=%d",nRr);
7 for(i=0;i"по-малко от"nInputsG;i++){
8 nRr=fread((void *)&j,sizeof(int),1,pFile);
9 printf("%d %d",nRr,j);
10 nRr=fread(arrPersonsG[i].EGN,sizeof(char),9,pFile);
11 printf("EGN= %d",nRr);
12 nRr=fread((void *)&arrPersonsG[i].Name,sizeof(arrPersonsG[i].Name),1,pFile);
14 nRr=fread((void *)&ch,sizeof(char),10,pFile);
15 for(j=0;j"по-малко от"10;j++) arrPersonsG[i].str_egn +=ch[j];
16 nRr=fread((void *)&LengthOfString,sizeof(int),1,pFile);
17 nRr=fread((void *)&ch,sizeof(char),LengthOfString,pFile);
18 for(j=0;j"по-малко от"LengthOfString;j++) arrPersonsG[i].str_name +=ch[j];
19 }
20 fclose(pFile);
21 }
22 ShowPr();
23 return;
24 }
Статията е преведена от руски език от страницата на Елисавета Калинина . Написана е от Лари Филипс.
Леонард Ойлер
(1707 - 1783)
В историята на математиката има много случаи, когато някой е поставял задача пред математическото общество като цяло и тази задача оставяла нерешена в продължение на десетилетия. Или дори векове. Често, в процеса на решаване на такава задача, са се появявали нови области в математиката. Тази статия е разказ за един такъв случай - така наречената "Базелска проблема" (задача за сумата на реципрочните квадрати, Базел е град в Швейцария), поставена за първи път през 1644г.
Тя се е съпротивлявала на всички опити за решение, докато младият математик Леонард Ойлер през 1734 г. не отрил отговора. Както ще види читателят, откритието е изключително изобретателно, макар, че нивото на математическите методи не надминава знанията от началния курс по алгебра.
има безкрайна сума, т.е. е разходящ, въпреки че членовете му стават безкрайно малки
За реда на реципрочните квадрати било показано, че е сходящ и сумата му е по-малка от 2, но каква точно било известно.
Първи се опитали да решат Базелската проблема братята Якоб (1654-1705) и Йохан (1667-1748) Бернули. Проблемата била наречена така, защото Базел бил родния им град. Братята били сред първите математици, които разбрали и започнали да прилагат новото смятане , за което научили от Готфрид Лайбниц (1646-1716) -един от неговите автори. Към 1690 г. те се считали за водещи математици в Европа.
За съжаление по това време те станали ожесточени и непримирими съперници помежду си, изглеждало, че изпитват убийствена ненавист един към друг. Всеки един от тях бил в сътояние да лъже, интелектуално да краде, да плагиатства, ако това би способствало да изглежда по-добър от другия. Съперничеството не престанало даже след смъртта на Якоб. Йохан се е опитвал да публикува някои работи на брат си от свое име, и даже е отказал да помогне за публикуването на трактат на му по теория на вероятностите, страхувайки се, че това ще подрони собствения му авторитет.
Може би Йохан е бил просто ... лош човек,
след като по-късно, когато собственият му син - Данаил спечелил математическа награда ,
(за която се е борил и баща му),
той го изгонил от дома си и го лишил от наследство.
(бележка на преводача:
По ирония на съдбата, сега тази фамилия се приема от математическия свят общо,
без да се различават много-много баща от синове и внуци. )
Дълги години братята се борили със задачата,
(което вероятно и частично, е било породено от
желание да се победи съперника) но нямали успех.
Лайбниц също работил над този проблем в продължение на години но не получил никакъв резултат.
Леонард Ойлер (1707-1786), бил родом от Базел и се случило така, че баща му познавал
Йохан Бернули. Когато Леонард станал на 14, баща му помолил Йохан да го учи на математика. Йохан се съгласил без желание но бързо разбрал, че ученикът му има способности, надминаващи всичко с което се е срещал досега.
Скоро ролите се сменили и учителят се е учил от Ойлер.
Йохан посъветвал бащата да се откаже да прави от ученика му министър и
предложил да стане математик.
Бащата се съгласил, което му прови чест.
След няколко години Ойлер заел пост в академията в Санкт-Петербург, в Русия.
Именно там, в 1734 г. Ойлер решил Базелската проблема.
В резултат на това той веднага станал "най-добрия математик в Европа".
Да разгледаме алгебрично уравение от произволна степен, да кажем четвърта.
Да предположим, че корените му са b, c, d и e.
Тогава можем да разложим полинома на множители: (b-x)(c-x)(d-x)(e-x)=0
Ако нито един от множителите не е равен на нула можем да запишем:
По-нататък има и полиноми от безкрайна степен, например:
Тези особени безкрайни редове са били открити от Нютон, и се извеждат лесно с
помоща на математическия анализ.
Този, тук ще го считаме за известен.
Ние знаем "нулите" на синуса
± kπ .
Първата идея на Ойлер е била предположението, че теоремата за разлагане е вярна за
полиноми от безкрайна степен, т.е.
Да забележим възможността за използване на формулата
(a-b)(a+b)=a2-b2
и да запишем:
Сега Ойлер е получил, че безкрайна сума е равна на безкрайно произведение !?
Обърнете внимание и на това, че в знаменателите участват квадратите на естествените числа, което намеква за реда от реципрочните квадрати. Макар, че произведението е безкрайно, ние можем да намерим коефициента пред всяка степен на x.
Дано не обидим многобройните читатели с това обяснение.
Да разгледаме произведението
(a+b)(c+d)(e+f)=ace+acf+ade+adf+bce+bcf+bde+bdf
Всеки елемент в произведението , например е равен
на произведението на събираемите, взети от всяка скоба по един.
Така Ойлер е намерил коефициента пред x2
Но от друга страна в безкрайния ред на
коефициента пред x2 е
Приравнявайки коефициентите получаваме:
И така след 90 години отговорът е намерен.
Този резултат остава един от най-странните чудеса в математиката.
Обикновено свързваме π с кръга а Базелската проблема съдържа реципрочни квадрати.
И какво прави тука тригонометричния синус?
Когато Йохан Бернули е видял това решение е трябвало да си каже:
"Ех, да беше жив брат ми да види това".
Може би той се е смекчил с годините.
Това не е всичко, което е открил Ойлер в своя исторически труд.
Той е показал, че
и
Остава въпросът за нечетните степени.
При тях подобни методи не работят.
През целия си живот Ойлер се е мъчил над този проблем.
В края на крайщата той казал "Изглежда, че тази задача е сложна".
Ако човек като него е казал това, за нас, обикновените математици, не си струва да се мъчим.
И разбира се сега, 200 години по-късно отговорът не е намерен, многобройни читатели.
Прагматиците могат да запитат за ползата от тези усилия водещи до резултат, от който няма никаква практическа полза. Обичайният отговор е че тази задача е от теория на числата, а в нея подобни въпроси не се поставят. Не толкова циничен отговор би бил, че резултатите от тази теория, все пак намират своя път в реалността. Добър пример за това е "малката теорема на Ферма", открита през 1640 г. , на която се основава криптографски метод за предаване на данни по Интернет. Без това търговията в Интернет би била невъзможна. А що се отнася до Базелската проблемма, по-късно се оказало, че тя е свързана с "хипотезата на Риман", една от най-важните и нерешени проблеми до ден-днешен. Тази хипотеза е била формулирана от Риман през 1859 г. Счита се за вярна, но досега не е доказана от никого. Може би ни е нужен нов Леонард Ойлер.
е безкрайност.
Броят на събираемите е
k2-k.
Най-малкото събираемо е последното. Така че:
или
, получаваме търсения резултат.
Превел: Станчо Павлов
Какво ще научим: Редове на Маклорен за елементарни функции - таблица Пример 3 от страницата за редове на Фурие