Какво трябва да знаем:     Производна на сложна функция на повече променливи  
Якобиани и действия с тях       Билинейни форми  

Висша математика II част
Висша математика III част

Определяне на вторите производна на сложна функция на много променливи и матричните им означения
методическа разработка

Станчо Павлов   Николай Петров   Красимир Йорджев

1. Означения и цели

Нека u е функция на две ξ (кси) и η (ета) променливи, които от своя страна са функции на променливите x, y и z.
Със J ще означаваме якобиана       якобиан Jacobian1_1
Ако u е функция на три променливи – x, y и z, с Матрица на вторите производни на u спрямо x, y и z –Hess1_1 ще означаваме матрицата Матрица на вторите производни на u спрямо x, y и z –Hess1_2
Тази матрица се нарича Хесиан на името на немския математик Лудвиг Ото Хесе (1811 –1874).
Основната цел на тази статия е да изразим Матрица на вторите производни на u спрямо x, y и z –Hess1_1 чрез Матрица на вторите производни на u спрямо x, y и z –Hess1_3 и якобиана J.

2. Първите производни

Използвайки правилото за диференциране на сложна функция получаваме: Първите производни на сложна функция на много променливи –FirstDer2_1
Тези три равенства могат матрично да се запишат така: Матричен израз за първите производни MatrExpr2_1
Ще изразим горното равенство като, разпишем старателно самите матрици.

Матричен израз за първите производни MatrExpr2_2

3. Вторите производни

Сега ще намерим втората производна на u спрямо х: Втората производна на u спрямо x –Uxx3_1
Попадаме на производна на произведение       Втората производна на u спрямо x –Uxx3_2
Последната сума сме означили с Axx .
Тя е нула ако ξ и η са линейни функции на x , y и z или кето е същото, ако якобианът се състои само от константи.
Да се заемем с първата сума:       Втората производна на u спрямо x –Uxx3_3
Смесените производни uξη и uηξ са равни и разкривайки скобите получаваме Втората производна на u спрямо x –Uxx3_4
Ще запишем това равенство като квадратична форма на вектора Производните спрямо x като вектор-стълб –Der3_x1

Втората производна на u спрямо x –Uxx3_5
Знакът T означава транспониране.
Подобни са изразите и за uyy и uzz .
За смесената производна uxy получаваме:       Смесена производна на сложна функция на много променливи –MixDer3_1

Смесена производна на сложна функция на много променливи –MixDer3_2

Използваме формулата за производна на произведение:      
Смесена производна на сложна функция на много променливи –MixDer3_3

Последната сума сме означили с Axy .
Тя е нула ако ξ и η са линейни функции на x , y и z.
Продължаваме ...
Смесена производна на сложна функция на много променливи –MixDer3_4

Смесените производни са равни. Разкриваме скобите и групираме:
Смесена производна на сложна функция на много променливи –MixDer3_1


Ще запишем това равенство като билинейна форма на векторите Производните спрямо x като вектор-стълб –Der3_x1 и Производните спрямо x като вектор-стълб –Der3_y1

Смесена производна на сложна функция на много променливи –MixDer2_5

Знакът T означава транспониране, както преди.

Подобни са изразите и за останалите смесени производни uxz и uyz .

4. Матрично изразяване на матрицата на вторите производни

Обединявайки матричните изрази досега можем напишем следния матричен запис
Матриците на вторите производни –MatrSecDer4_1

За последната матрица ще използваме означението Матрицата от допълнителните събираеми –MatrAddSumands4_1
Използвайки въведените отношения горното равенство се изразява така:
Матриците на вторите производни –MatrSecDer4_2

5. Матрицата Матрицата от допълнителните събираеми –MatrAddSumands4_1

-Axx– Axx 4_1
За втората матрица въвеждаме означението Вторият матричен множител –SecondMatrMult5_1
Тогава е в сила формулата Допълнително събираемо към Uxx – AddSumand5_1
Въведеното означение е удобно и за другите, допълненителни събираеми за вторите производни на u: Допълнително събираемо към Uxy – AddSumand5_2
Обобщавайки получените формули получаваме общия резултат:
Матрицата от допълнителните събираеми –MatrAddSumands5_1
Намираме за удачно, за втория множител на матрицата Първо означение –MatrAddSumands4_1 да приемем означението Второ означение –Notation5_2
Във един по-разширен запис това произведение ще изглежда така:
Матрицата от допълнителните събираеми –MatrAddSumands5_2

Векторът ред отпред се тълкува като число, по което се умножават всички елементи на матрицата.

6. Пълното матрично равенство за вторите производни на сложна фнкция

Матрично представяне на вторите производни -ExprHessian6_1
И символичният му запис:
Матрично представяне на вторите производни -ExprHessian6_2
Ако якобианът е числова матрица, независеща от променливите x , y и z то:
Матрично представяне на вторите производни -ExprHessian6_3

Ludwig Otto Hesse
Лудвиг Ото Хесе
(22 април 1811 – 4 август1874)
Немски математик
Източник: http://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Otto_Hesse
Какво ще научим:    
Привеждане в каноничен вид на линейно частно диференциално уравнение от втори ред чрез метода на характеристиките - указания към задачите
Примери за привеждане в каноничен вид и решаване на частни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти чрез метода на характеристиките      
Операторът на Лаплас в полярни координати
     

Висша математика II част
Висша математика III част
Уравнения на математическата физика