- Хванах, татко, хайдутин.
- Доведи го, синко!
- Не мога.
- Остави го.
- Не ме пуща!
Какво трябва да знаем:     Кватерниони или хиперкомплексни числа   Елемeнти на теорията на множествата,
математическата логика и структурите

"Аз-Ижица" - Съдържание

Теорема на Фробениус

Страницата е свободен превод от статията на
академик Л. С. Понтрягин „Обобщени числа”, публикувана в
списание „Квант” - брой 3 1985г.

Имагинерните елементи

Изтрий от сърце си мечтите парфюмни / за тъмни очи кадифе. / Под напора страшен на мисли безумни / свари си горчиво кафе. Христо Смирненски Комплексни числа тяло поле векторно пространство крайно разширение алгебра делители на нула основната теорема на алгебрата

Нека H е тяло - крайно разширение на полето на реалните числа (R).
Разглеждаме H като векторно пространство над полето на реалните числа с размерност n+1.
Означаваме с I множеството на тези елементи на H , чиито квадрати не само принадлежат на множеството на реалните числа но са и отрицателни или нула.
I и R имат само един обш елемент – 0.

-Fr1_1

Ще докажем, че произведението на реален елемент и на елемент от I е също елемент от I.

-Fr1_2

Реципрочният на различен от нула елемент от I е също елемен от I.

-Fr1_3
В поредицата от равенствва използвахме, че умножението в H е асоциативно и че елементие z и z-1 комутират (z.z-1 = z-1.z = 1 ).

Разлагането на реална и имагинерните част

А) Съществуване на разлагането

Всеки елемент x на H може да се представи във вида x = a +z , където a е реално и z принадлежи на I.
Разглеждаме H като крайномерно векторно пространство над R.
Да разгледаме елементите -Fr2_1 това са n+2 елемента на линейното пространство H с размерност n+1.
Следователно те ще бъдат линейно зависими.
Това означава, че съществуват реални числа -Fr2_2 не всички равни на нула, такива, че -Fr2_3
От основната теорема на алгебрата полиномът може да се разложи на множители от първа и втора степен с отрицателна дискриминанта. -Fr2_4
Понеже в H няма делители на нула то един от множителите отляво е равен на нула.
  1. Ако това е множител от вида x-a то x=a+0. „a” е реално число а 0 принадвежи на I и твърдението е доказано.
  2. Ако това е квадратен тричлен с отрицателна дискриминанта го представяме във вида: -Fr2_5 x-a има отрицателен квадрат и следователно принадлежи на I. -Fr2_6

Б) Единтвеност на разлагането


Всеки елемент x на I може да се представи по единствен начин във вида x = a +z , където “a” е реално и z принадлежи на I.
За представянето - видяхме.
Това представяне е единствено.

Ако има две такива представяния -Fr3_1
Ако z0 или z е нула твърдението се доказва лесно.

-Fr3_2
Нека z0 е различно от 0.
Тогава z = (a0 - a )+z0 .
Да повдигнем на квадрат: -Fr3_3
Но z2 и z02 са реални числа.
Тогава 2(a0 - a )z0 е общ елемент на R и I.
Тогава е нула.
2(a0 - a )z0 = 0.
Понеже z0 е различно от нула и H е без делители на нулата, тогава a0 = a откъдето и z0 = z.

Да обобщим:
Елемент на тялото H принадлежи на I когато неговият квадрат е реално, по-малко или равно на нула число.
Всеки елимент x на тялото H се представя по единствен начин във вида x = a+z, където „a” е реално число и z принадлежи на I.

Имагинерните елементи като векторно пространство


Ще покажем, че сумата на два елемента от I е също елемент от I.
Нека u и v са елементите от I.
Разлагаме uv+vu на реална и имагинерна част
-Fr4_1
Подчертаният израз е ралната част.
Разлагаме и u+v на реална и имагинерна част:         -Fr4_2
От единствеността на разлагането следва, че -Fr4_3
Ако a1 е нула то u+v принадлежи на I и няма какво да се доказва.
Иначе -Fr4_4
Можем да разсъждаваме и по-общо:
-Fr4_5
От друга страна ако p и q са произволни, различни от нула числа то: -Fr4_6
Подчертаният израз е ралната част.
Приравнявайки имагинерните части получаваме равенството -Fr4_7
Да образуваме системата: -Fr4_8 c’ и c’’ са различни от нула, реални числа.
Елиминирайки ω0 получаваме: -Fr4_9
Ако p и q са различни реални числа коефициентите пред u и v не могат да бъдат едновременно нули. d е реално число.
От единствеността на разлагането на реална и имагинерна част следва че d е нула.
Тогава имагинерните части са колинеарни (v=ku където k е от R ) и твърдението -Fr4_10 е ясно.

Едно решаващо тъждество

Ще покажем, че -Fr5_1
Ако едно от числата u или v е нула твърдението е ясно.
Предполагаме че са различни от нула.
Тогава u2 и v2 са също различни от нула реални числа.
Първо ще покажем, че vu принадлежи на I.

От комутативността на реалните числа с елементите на H следва, че vuuv=v(u2)v= (u2) vv=(u2)(v2) е реално число.
-Fr5_2 (uv)-1 е от I като реципрочно на елемент от I.
vu също е от I като произведение на реално, различно от нула и елемент от I.
Тогава vu+uv е елемент от I като сума на два елемента от I.
От друга страна vu+uv е реално,

както се вижда от равенството -Fr5_3
Щом vu+uv е общ елемент на I и R той е нула.

Теоремата на Фробениус

Ако H е тяло - крайно разширение на полето на реалните числа R то или съвпада с R или с полето на комплексните числа или с тялото на кватернионите.
По-нататъшни, „разумни ” разширения няма.
Те или са с делители на нула, или са неасоциативни или са безкрайни.
Да видим:
Нека I притежава ненулев елемент – x.
Неговия квадрат е реално, отрицателно число.
Тогава съществува реално числа a , такова че (ax)2 = -1.
Полагаме i = ax .
Ако I се състои само от елементи от вида k.i то I съвпада с множеството на комплексните числа.
Нека I притежава елемент - x , неколинеарен с i.
Тогава от разлагането на реална и имагинерна част i.x=a+j или j=a-xi.
Умножавайки по подходящо число можем да нормираме j така, че да бъде изпълнено j2 = -1.
Вече имаме две имагинерни единици .. и ..
Да положим k = ij.
Да намерим произведенията: -Fr6_1 k е имагинерно.
То е ново в смисъл че не може да се представи чрез i и j.
Ако допуснем че -Fr6_2 умножавайки отляво с k получаваме невъзможното равенство -Fr6_3 противоречащо на единствеността на разлагането на реална и имагинерна част.
Така стигаме до хиперкомплексните числа.
Сега да допуснем че има друг имагинерен елемент - z, който не е линена комбинация на i, j и k.
Разлагаме произведенията му с известните имагинерни единици на реална и имагинерна част.
-Fr6_4
Образуваме елемент h – линейна комбинация на елементи от I.
h = a(z+a1 i+ a2 j+ a3 k)

Като такава той е имагинерен. Подбираме "a" така, че h2 = -1.
i.h=z1
-Fr6_5

Аналогично и за останалите произведения с имагинерните единици. -Fr6_6
Тогава

ihj = (ih)j = -(hi)j = -hk
ihj = i(hj) = -i(jh) = -kh = hk.

Тогава hk = 0 – противоречие с ненулевостта на h.

Фердинанд Георг Фробениус (1849-1917), виден немски алтебрик, работил в Берлин и Цюрих.
Заедно с Уйлям Хамилтон а Артур Кели се счита за един от авторите на хиперкомплексните числа.
На той се е предвижил и по-напред – на него принадлежи важната теорема,
че няма „разумни” обощения на полето на реалните числа, освен комплексните числа и кватернионите.