Какво трябва да знаем:     Комплексни числа - алгебрична форма
Тригонометрична форма на комплексните числа     
Формула на Ойлер      Редове на Маклорен за елементарни функции – таблица  
Условия на Коши - Риман за аналитичност на функция в С  
Елемeнти на математиката
Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"

Едно неразумно разширение на реалните числа до равнинни

Станчо Вълканов Павлов

Определението

Да разгледаме таблицата за умножение
Разглеждаме още формално векторното пространство S с базис ( i, j). над полето на реалните числа R.
Тази форма на елементите на S ще наричаме “алгебрична”. a ще наричаме i-част а b - j–част.
Числата α от този вид ще наричаме „равнинни”.
В S разглеждаме умножението :        
  1. Произведението се получава като формално разкрием скобите:        
  2. Разменяме местата на множителите, така че векторите от базиса да се окажат най отдясно        
  3. и след това, възползвайки се от таблицата получаваме:        
  4. Привеждаме в алгебрична форма:        
Можем да съставим следната схема за намиране на реалните и имагинерните части.
Примери:








На основание на това свойство i играе ролята на единица при умножението и е по-удачно a и b в равенството α = a+bj да ги наричаме съответно ( вместо i и j – части) “реална част” и ” j-част”.
Тогава „запаметяващо” правило можe да се изрази така:
Реалната част на произведението се получава с успоредни а другата ( j – частта) с кръстосани тиранти.
На това основание, равнинното число α = ai+bj ще означаваме просто с α = a+bj.

Нормата е мярка за всички неща и трябва да е положителна
– като моралът


Нека α = a+bj. Спрегнато на α ще наричаме числото .
Тогава нормата на α ще наричаме числото и ще го означаваме с |α|.
Но ограничени от изискването трябва да приемем, че .
Освен това
Така че числата от вида имат нулева норма.

Светлата област е от числата с положителна норма.

„Делението не е за всяка глава „ –д-р Петър Берон (около 1795-1871) от Котел
Бихме допълнили: „... Нито за всички числа.”


Портретът е заимстван от
http://frognews.bg/news_33323/D-r_Petar_Beron_%E2%80%93_balgarskiiat_entsiklopedist/



Може, но ако
Пример:        

Тригонометрично – хиперболично

Ученичка от десети клас: Всичко ми е ясно но „син” и „кос” - не ги разбирам!

Да заместим в x с xj и да се наслаждаваме на резултата!

Така достигаме до формулата
- подобно на формулата на Ойлер.

За диференцирането - с любов

Професорът: Какво е производна?
Студентът: При производната примът се пише горе вдясно.       Интегралът се пише отпред.
Професорът: Браво!
      Вие знаете не само производните но и интегралите.       Получавате тройка.

Нека z е равнинно число . f(z) е функция с равнинен аргумент. z = x+yj Функцията f(z) ще има реална и j-част. f(z) = f(x+yj) = X(x,y)+Y(x,y).j
Желаем f да бъде диференцируема в точка α независимо от пътя.
Избираме хоризонтален път променяйки само реалната част на аргумента и вертикален - променяйки само yj.
               
Приравнявайки производните по двата пътя получаваме: които са подобни на условията на Коши-Риман.
Диференцирайки първото равенство по x а второто по y получаваме:
Да пробваме с
Да! Да! Да!
Yes!

Какво ще напишем:    
Хайде напишете нещо, де!
Елемeнти на математиката
Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"