"Фактите са врагове на истината." - Дон Кихот
Какво трябва да знаем:     Комплексни числа   Числово поле      
Скаларно произведение   Векторно произведение  
Векторно пространство   Линейна комбинация на вектори  
Елемeнти на теорията на множествата,
математическата логика и структурите

"Аз-Ижица" - Съдържание

Кватерниони или хиперкомплексни числа

Откритието, записано от Уйлям Хамилтон на перилото на един мост в Дъблин в тъмна нощ. Като тази.

Разглеждаме 3 символа i, j k , които ще наричаме имагинерни единици и правилата за тяхното умножение:
Таблица за умножение на имагинерни единици -Tbl1
Отляво, вертикално, са разположени първите множители на произведението а хоризонтално, горе - вторите.
i.i = j.j = k.k = -1
Произведението на имагинерните единици не е комутативно:       i.j=k но j.i=-k.
Достатъчно е да знаем, че квадрата на всеки един от трите символа е -1 и че произведението на два различни се определя от следната кръгова схема:
Кръгова диаграма за лесно запомняне на произведенията на имагинерните единици -Circl1
Разглеждаме още множеството от сумите Множество на кватернионите или хиперкомплексните числа -Squarter1 където a, x, y и z са реални числа.

Това множество ше наричаме множество на хиперкомплексните числа или множество на кватернионите. Тези числа са дефинирани от ирландския математик Уйлям Хамилтон .
Кватернионите образуват четири-мерно векторно пространство над множеството на реалните числа (R).

За умножението

ij+ji=0

Счита се, че умножението с реалните числа е комутативно: a.α = α.a където a е реално числа а α произволно, хиперкомплексно число. Ето два примера за умножение:
Произведение на хиперкомплексни числа -Prod1_0

Произведение на хиперкомплексни числа -Prod1_1

Опростете израза
-Prod2

Произведение на хиперкомплексни числа -Prod2_2

Можем да формурираме следното правило за умножение на кватернионите
За да умножим две хиперкомплексни числа Две хиперкомплексни числа -Alpha_Beta
  1. Трябва да ги запишем едно до друго, заградени във скоби. Произведение на хиперкомплексни числа -Alpha_Beta1
    Да разкрием скобите, като имагинерните единици запишем най-отдясно.
    Произведение на хиперкомплексни числа -Alpha_Beta2
  2. Квадратите на имагинерните единици се заместват с -1 а за произведенията на различните имагинерни единици се използват правилата:
    ij = -ji = k   ;   jk = -kj = i   ;   ki = -ik = j
    Произведение на хиперкомплексни числа -Alpha_Beta3
    Извършваме приведението за да получим окончателния вид на произведението.
    Произведение на хиперкомплексни числа – окончателен вид -Alpha_Beta4
Кватернионите образуват тяло а не поле.

Кватернионите като векторно пространство

Множеството на хиперкомплексните числа образуват четиримерно векторно пространство над полето на реалните числа ( R).
Да означим с I множеството Имагинерна част на хиперкомплексно число -Imaginer1 I е тримерно векторно подпространство над R.
Тогава ако z принадлежи на I то z2 е реално, отрицателно число.

Квадрат на имагинерно число -ImProd1

Елементите на I ще наричаме имагинерни и ще ги отъждествяваме със векторите от тримерното векторно пространство над R.
Всяко хиперкомплексно число е сума от реалната му част и имагинерната.
Имагинерната част като вектор -ReIm1 където u ще възприемаме като вектор с координати (x, y, z).
Този вектор е u - имагинерната част на α.
Реалната част е число а имагинерната – тримерен вектор.

Ще използваме символите “< u , v >” за скаларно и “u x v” за векторно произведение а точката ще запазим за произведението на кватернионите.
Тогава произведението α.β , където
-Alpha_Beta може да се запише така:
Произведение на две хиперкомплексни числа, представено със скаларно и векторно произведение -AlphaXBeta
Ако u и v са колинеарни вектори то Векторното произведение е нулевият вектор -Prod3 защото векторното им произведение е нулевият вектор.
По подобие на комплексните числа се въвежда комплексно спрегнато на кватерниона α , което се означава с α – черта.
Два спрегнати кватерниона -Conugate1
Произведението на два взаимно-спрегнати кватерниона е реално неотрицателно число. Ще го означаваме с |α|2 .

Сбор по разлика или произведение на два спрегнати кватерниона -AXA_1
|α|2 е равно на нула единствено когато реалната част на α е нула и имагинерната част е нулевият вектор.
Всяко различно от нула хиперкомплексно число има реципрочно.

Реципрочното на ненулев кватернион -Reciprotial1

За умножението с подробности

Ако имагинерните части на α и β са колинеарни; v = k.u произведението се опростява. Как?


Колинеарни имагинерни части -Colinear1

Произведението на две чисто имагинерни, хиперкомплексни числа α и β може да не чисто имагинерно ( да не принадлежи на I) .
При какво условие произведението на две числа от I ще принадлежи на I.


Произведение на чисто имагинерни хиперкомплексни числа -ImProd2
Ако скаларното произведение < u,v > е нула тогава произведението е чисто имагинерно.
Скаларното произведение <u,v> е нула когато векторите са перпендикулярни.
Ако двата вектора, представляващи имагинерните части, са колинеарни тогава векторното произведение е нула и α.β ще бъде реално число.

Ако α и β са чисто имагинерни комплексни числа то Теорема ... -Theorem1

... и нейното доказателство -Proof1


Уйлям Роуен Хамилтон - животопис

Текстът и портретът са заимствани от „http://ru.wikipedia.org/”
William Rowan Hamilton 1805-1865
Уйлям Роуен Хамилтон
1805-1865
Изтъкнат ирландски математик

Хамилтон е роден в гр. Дъблин в семейство на юрист. Поради бедност от тригодишнна възраст е обучаван от своя чичо по бащина линия – Джеймс Хамилтон – викарий и учител в град Трим.

Още от детството си момчето е проявило необикновени дарби. На 7 години е знаел древноеврейски а на 12 – под ръководството на своя чичо е знаел 12 езика и сред тях персийски, арабски и санскрит. На 13 години е написал ръководство по сирийска граматика. На 12 години е прочел Елементите на Евклид. На 13 «Универсална аритметика» на Нютон а на 16 – голяма част от «Математически основи на естествената философия».

На 17 е започнал да изучава «Небесна механика» на Лаплас. През 1823 е постъпил в „Тринити-колидж” в Дъблин. Показал е толкова блестящи дарования че през 1827 г. е назначен за професор по астрономия и за кралски астроном на Ирландия. През 1833 г. се оженва за Хелън Бейли. Бракът се оказал не твърде удачен и Хамилтон започнал да злоупотребява с алкохол. През периода 1834-1835 г. написва класическите си изследвания по механика – наречена на неговото име хамилтонова. През 1837 г. е избран за президент на Кралската ирландска академия и член-кореспондент на Петербургската академия на науките. Кватернионите са открити от Хамилтон през 1843 г. В края на живота си Хамилтон е заболял душевно.


Съчиненията му носят печата на гениалността. Направил е важни открития в областта на оптиката. Методите му за интегриране на системи от диференциални уравнения са продължени по-късно от Якоби. Тези му изследвания са публикувани в мемоара «Върху общия метод в динамиката» (On a general method in Dynamics) Там той е описал нов метод за получаване на диференциалните уравнения на движението, изхождайки от нов принцип, наречен «Принцип на Хамилтон», който е развитие на принципа на най-малкото действие установен по-рано от Мопертюи, Ойлер и Лагранж. Създадената «Хамилтонова динамика» и послужила за основа на теорията на микросвета.

Хамилтон е въвел и аксиоматичната теория на комплексните числа като наредени двойки. През четиридесетте години на 18-ти век английската математическа школа упорито е търсила разширение на комплексните числа с повече от една имагинерна единица. По-късно е доказано, че такова разширение не може да бъде поле. То или ще е некомутативно, или неасоциативно или ще съдържа делители на нула. Хамилтон първи е достигнал до успех в тази област. Той е открил кватернионите – некомутативна числова структура с три имагинерни единици (1843 г.). В процеса на тяхното изучаване е въвел понятието векторно пространство и е положил основите на векторния анализ. Хамилтон е въвел векторното произведение и предложил оператора набла. Въз основа на неговите работи Гибс и Хевисайд са разработили векторния анализ.

Интересно е да се отбележи, че двете главни открития на Хамилтон – новата формулировка на механиката и кватернионите са изиграли основна роля при възникването на квантовата механика.

Какво ще научим:    
Ротация в пространството изразена чрез хиперкомплексни числа
Теорема на Фробениус
Елемeнти на математиката
Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"