Какво трябва да знаем:     Комплексни числа
Двойно векторно произведение      Кватерниони или хиперкомплексни числа  
Елемeнти на математиката
Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"

Ротация в пространството изразена чрез хиперкомплексни числа

Нека q е единично, хиперкомплексно число. единичен кватернион  -Unit1
То може да се нарече „ротатор”, защото определя ротация в пространството, понеже се представя във формата единичен кватернион  -Unit2   , където r е единичен вектор.

Нека представяне на хиперкомплексно число с реална и имагинерна част –Quaternion1 и r е ненулев вектор.
Променяйки множителя b можем да допуснем, че векторът r е с единична дължина.
тригонометрична форма –Unit3
Тогава ротацията е на ъгъл α и е с ос определена от вектора r.
Нека v е тримерен вектор, представляващ точка A от тримерното пространство, подлежаща на ротация.
Този тримерен вектор ще разгледаме като чисто имагинерно, хиперкомплексно число.
Ще покажем, че реалнта част на произведението ротиран вектор –triple1 е нула а имагинерната са координатите на вектра v, завъртян на ъгъл около ос, минаваща през началото на координатната система и колинеарна на r.
спрегнат кватернион – unit5                 Първото произведение –FirstProd1

Реалната част на произведението -ротиран вектор –triple1 е нула.

Реалната част на произведението на две числа от H е произведението на реалните части минус скаларното произведение на имагинерните:
Реалната част на тройното произведение  RealPart1

Сега ще намерим имагинерната част на         -тройно произведение –triple1         Опитайте сами. Аз се измъчих.

Имагинерната част на произведението на две числа от H е произведението на реалните части с имагинерните плюс векторното произведение на имагинерните:
Имагинерната част –ImaginerPart1
Приобразуваме двойното векторно произведение по познатия начин:
двойно векторно произведение ImaginerPart2

Сега ще заместим r2 с единица, понеже r е единичен вектор и много внимателно ще разкрием скобите.
Разлагане на перпендикялярна и успоредна съставка –ImaginerPart3


Получаваме:       имагинерна част –ImaginerPart4
Прегрупирайки:
Разлагане на перпендикялярна и успоредна съставка –ImaginerPart5

Изразът пред cosα е проекцията на v върху равнина перпендикулярна на r. Векторът (r.v)r е компонентата на v , колинеарна на r.
векторно произведение –crossProd1
Картинка –Picture1

Векторът       ротираният вектор от перпендикулярната равнина -vRot1       е получен от       компонентата на v в перпендикулярната равнина -vOrt1       чрез завъртане на ъгъл α в равнината перпендикулярна на r.
Разлагайки       ротираният вектор -vRot1       по двата взаимно-перпендикулярни вектора       компонентата на v в перпендикулярната равнина -vOrt1       и       двете векторни произведения са равни –crossProd2       се уверяваме, че       изразяване на ротираният вектор –triple1       е векторът v завъртян по остта, определена от r на ъгъл α.

Какво ще научим:    
Октониони - въведение
Елемeнти на математиката
Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"