Какво трябва да знаем:     Триъгълник на Паскал  
Редове на Маклорен за елементарни функции - таблица       Евклидово пространство
Ортогонализация на Грам-Шмид
Висша математика I част
Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"

Полиноми на Льожандър

Дефиниция и получаване

Полиномите с реални коефициенти образуват векторно пространство V над полето R.
Ако p(x) и q(x) са полиноми, дефинираме тяхно скаларно произведение с равенството Скаларно произведение -InnerProd1_1
Така придаваме на V структура на Евклидово пространство.
Тогава
-Скаларно произведениена едночлени -MInnerProd1_1

Векторите A={1, x, x2 , x3, ... }. образуват базис във V .
Да означим с q k(x) полиномите, получени от A в резултат от прилагането на ортогонализацията на Грам-Шмид.
Полагаме q 0 = 1 .
- Скаларният квадрат на новия полином Sqr1_0
За всяки новополучен полином q k ще изчисляваме скаларните му произведения с xk+1 .
-Скаларни произведения на новия полином със степените на x –TScalProd1_0
Резултатите ще попълваме в таблица: Скаларни произведения на новия полином със степените на x –TScalProd1_1
Полагаме Първият нормиран полином Leg1_1
Тогава: Изчисляване на коефициентите  Coeff1_1       Скаларния квадрат на новия полином Sqr1_1
Полагаме: Вторият нормиран полином Leg1_2
Тогава: Изчисляване на коефициентите  Coeff1_2
Изчислете скаларния квадрат на втория полином на Льожандър -Sqr1__

Скаларния квадрат на новия полином Sqr1_2

Попълваме таблицата на скаларните произведения на x3 с qn n= 0..2.

Скаларни произведения на новия полином със степените на x –TScalProd1_2

Полагаме Третият нормиран полином Leg1_3 и намираме αn от формулите Изчисляване на неизвестните коефициенти –UnKnown1_1

Изчисляване на коефициентите  -Coeff1_3
Третият нормиран полином -NLegendre1_3
Изчисляваме скаларния квадрат: Изчислете скаларния квадрат на третия полином на Льожандър -Sqr1__3

Скаларния квадрат на новия полином -Sqr1_3

Попълваме таблицата на скаларните произведения на x4 с qn n= 0..3.

Скаларни произведения на новия полином със степените на x –TScalProd1_3


Полагаме: Четвъртият нормиран полином Leg1_4 αn се получава от формулите Изчисляване на неизвестните коефициенти –UnKnown1_2 и намираме Четвъртият нормиран полином NLegendre1_4_0

Изчисляване на коефициентите  Coeff1_4 Четвъртият нормиран полином NLegendre1_4_1
Получените полиноми се наричат нормирани полинами на Льожандър, защото коефициентът пред най-високата степен е 1.
Адриен Мари Льожандър (1752–1833) (Adrien-Marie Legendre ) е френски математик от 18 в.
Описваните полиноми са открити във връзка с неговите изследвания за гравитационния потенциал.
Публикувани са в периода 1785-1787 г.
Класическите полиноми на Льожандър се отличават от нормираните с числов множител: Класически полиноми на Льожандър Legendre1_1
Да ги намерим!

Класически полиноми на Льожандър –ClLeg1_1

Теорема (Олинде Родригес )

Теорема на Родригес –TRodr1
Тук се има предвид k-тата производна на k-та производна на това = ? –Der2_1 Ще проверим тъждеството за P4.

Проверка Check2_1
Тук и нататък n-тата производна на f(x)ще означаваме с f(n)(x).

Да полжим Полагане –Subs2_1
Лема         Помощно твърдение Lemma2_1
Да означим с u израза x2 - 1 : u = x2 - 1.
При j = 0 u участва като множител в R 0,k при k > 0.
Производна на произведение  -Expl2_1_1 и ако k-j+s-1 > 0 <-> k > j-s+1 то u участва и в Rj-s+1, k .
Може да се използва и формулата на Лайбниц за n –тата производна на произведение:
ормула на Лайбниц -Expl2_2_1

Ако j < k поне едно от събираемите j1 , j2 ,.., jk ще е нула а u(0) = u.
Сумата от k числа трябва да е j.
Ако всички са по-големи от нула сумата ще е по-голяма или равна на k и не може да е j.
Лема         Ако Помощно твърдение -Lemma2_2 са ортогонолни на всички полиноми със степен по-малка от j.

Трябва да покажем, че
Трябва да докажем -Proof2_1_1
Внасяне под знака на диференциала и интегриране по-части -Proof2_1_2
Така получаваме равенството Рекурентна формула -Proof2_1_3
Извършвайки действието i пъти получаваме: Прилагане на рекурентната формула k пъти -Proof2_1_4
Но поради първата лема изразът отдясно е нула: Нула -Proof2_1_5

Тогава Rk,k и Pk са колинеарни помежду си, защото са от степен k и са перпендикулярни на всички полиноми от степен по-малка от k. Полиномите се различават само с константен множител -Proof2_1_6
За да намерим константата ck сравняваме старшите коефициенти на полиномите:
Намиране на константата -Proof2_1_7
Тогава Теоремата на Родригес -Proof2_1_8
Което е и формулата на Бенжамин Олинде Родригес (1795–1851)
Тази формула е открита независимо от трима математици - Родригес (1816 г.) Джеймс Айвъри (1824) и Карл Якоби (1827 г.).
Наименованието й е дадено от Хайне през 1878 г. след забележка на Ермит, който е отбелязал че Родригес я е открил първи.
Източник: "http://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_formula"
Но кой е Той?


Произхожда от семейство на еврейски банкер.
Завършил е докторантура в Парижския университет (1815 г.) и след това е наследил професията на баща си.
Прегънал социалистическите идеи е се утвърдил като продължител на делото на Сен Симон.
През 1840 г. публикувал съчинение за групата на трансформациите, с което е станал предтеча на откриването на кватернионите.
В тази връзка е работил и върху групата на ротациите в тримерното пространство. Но преживе неговите заслуги са били игнорирани.
Починал е забравен от съвременниците си и потънал в мизерия през 1851 г.

Явно намиране на полиномите на Льожандър

Теорема на Родригес –TRodr1

Ако развием израза степен на квадратен тричлин Sqr3_1 използвайки биномната формула и след това диференцирайки k пъти ще получим Явна формула на полиномите на Льожандър -DirectForm1 като сумирането си изваршва за тези i, за които

Биномна формула за k-та степен –BinFrm3_1
Да представим биномните коефициенти чрез факториелите и да диференцираме k пъти.
Намиране на k-та производна k_thDer3_1
Да съкратим на k! и да представим дългото произведение като частно на факториели.
Въвеждане на факториел –Fact3_1
Да отделим четните множители в произведението (2i)! и да съкратим частично със степента на 2 в знаменателя.
Съкращаване –Shorting3_1
Да съкратим на i! и да въведем двоен факториел в знаменателя прикрипяйки степента на 2 към първия факториел в него.
Явна формула на полиномите на Льожандър -DirectForm1
Това е!

За нормата на векторите от ортогоналния базис Pk(x)


Ще намерим скаларния квадрат Скаларен квадрат на полиномите на Льожандър –SqrScal4_1
Ще използваме формулата на Родригес Теорема на Родригес –TRodr1
Да положим u = (x2 - 1) и да пресметнем скаларния квадрат на k–тата производна на uk . Скаларен квадрат на k – тата производна на k- тата степен - SqrScal4_2
Тук отново скобите в степенния показател означават диференциране а стрелката- внасяне под знака на диференциала.
Получихме формулата Рекурентна формула – RecFrm4_1
Повтаряйки това действие k пъти достигаме до Прилагане на рекурентната формула k-пъти - RecFrm4_2
Дясната страна е равна на k-тата производна на k –тата степен – (2k)! –Der4_1
Налага се да пресметнем интеграла Един определен интеграл – DeffInt4_1
Внасяйки последователно първия множител под диференциала ще докажем, че той е равен на Отговор – Answ4_1

Рекурентна зависимост - RecFrm4_3
Тогава Рекурентна зависимост - RecFrm4_4
Извършвайки операцията още веднъж достигаме до: Рекурентна зависимост - RecFrm4_5
И така, извършвайки я общо k пъти получаваме: Още не сме свършили – NotTheEnd4_1
Сега да пресметнем интеграла I2k,0.
Лесен интеграл – EasyInt4_1
Получаваме стойността на Ik,k. Краен резултат – End4_1

Да се върнем към началото.
Пресмятане на скаларния квадрат на полиномите на Льожандър - SqrScal4_2_1

Пораждаща функция на полиномите на Льожандър


Да разложим функцията Пораждаща функция на полиномите на Льжандър GenFunc1 по степените на u.
Коефициентите пред са функции от x и се оказва, че са класическите полиниоми на Льожандър.
За да покажем това ще използваме Нютоновия бином с дробни показатели. Нютонов бином за произволна степен -Newton5_1
Коефициентите пред xn ще означаваме с Биномни коефициенти –BinCoeff5_1
Като пример ще развием функцията Пример –Example5_1 в степенен ред спрямо u.

Развитие на функция в степенен ред -Newton5_2

Но на нас ни е необходим дори по-усложнен вариант на тази формула – когато събираемите в скобите са 3 . Формула със три събираеми -Newton5_3
Под символа Биномни коефициенти –BinCoeff5_2 ще разбираме Биномни коефициенти –BinCoeff5_3
Ще пресметнем биномния коефициент Биномни коефициенти –BinCoeff5_4

Биномни коефициенти –BinCoeff5_5

Сега внимателно ще развием Пораждаща функция на полиномите на Льжандър GenFunc1 по степените на u и ще се убедим, че коефициентът пред uk съвпада с класическия полином на Льжандър от степен k - Pk(x).
Формула със три събираеми -Newton5_4

Да положим k:=2n+m.
Тогава m=k-2n и понеже трябва да е неотрицателно Изменение на n –InEq5_0 Формула със три събираеми -Newton5_5
Предстои ни да докажем, че изразът в скобите е
Явна формула на полиномите на Льожандър -DirectForm1 като сумирането си изваршва за тези i, за които Изменение на i –InEq5_1


Да започнем да преобразуваме израза
Нютонов бином  -NewtonBin5_1
като първо положим k-2n=2i-k
Нютонов бином  -NewtonBin5_2
Сумирането се изваршва за тези i, за които Изменение на i –InEq5_1
Сега на развием биномния коефициент: Нютонов бином  -NewtonBin5_3
Да умножим степените на -1 а тези на 2 да ги прикрипим към втория факториел в знаменателя.
Нютонов бином  -NewtonBin5_4
И Готово!

Рекурентна зависимост на полиномите на Льожандър

От представянето на генериращата функция в степенен ред имаме:
Развитие на функция в степенен ред – Row6_1
където Pk(x) са полиномите на Льожандър.
Да диференцираме това равенство спрямо u.
Производна на произведение-Der6_1
Ще се освободим от знаменателя.
Освобождаване от знаменателя – FreeDen6_1
Сега ще разкрием скобите и ще приравним коефициентите пред uk на нула.
Коефициентът пред k-тата степен на u - Res6_1

Получаваме
Рекурентна формула за полиномите на Льожандър -Rec6_1

Диференциално уравнение на полиномите на Льожандър

Нека         Полагане –Subs7_1         Тогава         Равенство - Equality7_1

Доказателство – Proof7_1


Да диференцираме равенството         Зависимост -Equality7_1_1
k пъти използвайки формулата на Лайбниц за n-тата производна на произведение
Въпрос –Qwest7_1 и да представим резултата като функция на u(k) и нейните производни.

Използваме формулата на Лайбниц за k-тата производна на произведение и групираме:
Резултат -Res7_1

Диференциално уравнение -DeffEq7_1 и формулата на Радригес получаваме, че функцията y = Pk(x) удовлетворява диференциалното уравнение от втори ред
Диференциално уравнение DeffEq7_2
Повече от двеста години в литературата за истински портрет на френският математик Льожандър се е считал този:
Неправилен портрет - FalsePort

През 2009 г. се оказва, че това е портретът на френският революционер Луи Льожандър.
Единственият известен портрет на математика е една карикатура, вероятно направена от студент, в която той е изобразен заедно с Фурие.
Ето я:
Карикатура -TruePort
Източник: "http://sidosoft.ru/blog/2011/06/25/"
Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"