Формула на Стирлинг

От формулата

можем да считаме, че за реални x, функцията f(x!)= ln(x!) има производна ln(x).
Прилагайки основната теорема на интегралното смятане получаваме:

За цели стойности за n! получаваме се п ървото преближение за n!: Първото преближение за n! --- NFactorielApr1

.
За да получим по-точно приближение, използваме формулата на Ойлер: Интегрално представяне на n! ---Integr1

Изложените по-долу разсъждения се наричат "метод на Лаплас".
Да намерим максимума на функцията y=nlnx-x.
За първата производна получаваме:

Графика на функцията f(x)=6*ln(x)-x, получена чрез програмата в http://roncho.net/ --Graphic1

Графика на обикновена функция f(x) и параметрична крива x(t), y(t) http://roncho.net/ Да развием функцията y = n.lnx – x в ред на Тейлор около точката на максимума (n, n(lnn-1)) до втория член.
Първата производна на функцията е

и тя е 0 при x= n.
Втората производна е

и при x= n тя е

. Тогава полиномът на Тейлор е:

Графиката на приближената на функцията y=6lnx-x – Graphic2

Графиката на функцията приближената функция на y=6lnx-x
Да заместим: Приближено и интегрално представяне на – NFactorielApr2

За интеграла Този интеграл се появява при нормалното разпределение – Integr2

забелязваме, че е същият, както при нормалното разпределение със
средна стойност n и стандартно отклонение

.
При големи стойности на n можем да считаме, че

е положително число, от което си правим извода, че голямата част от "съдържанието" на този интеграл попада в интервала [0 ; +∞).
Тогава Приблизителна стойност на несобствения интеграл – NFactorielApr3

Така че:

.
И ето я формулата на Стирлинг (1692–1770):

Какво ще научим?