Какво трябва да знаем: Скаларно произведение   Допирателна към крива през точка от нея  
Уравнение на окръжност   Есцентритет, директриса и допирателни   Хипербола
Диференциални уравнения с отделящи се променливи   Частни производни
Диференциална геометрия
Висша математика II част
Векторен анализ

Намиране на ортогонално семейство криви


Нека е дадено семейство криви с уравнения f( x,y ) = C .
Ще намерим друго семейство - g( x,y ) = C , такова, че ако A( x,y ) е пресечна точка на две криви от различни семейства, техните допирателни в точката A да са взаимно перпендикулярни.
Взаимно ортогонални семейства криви Draw0

Допирателният вектор към f( x,y ) = C в точка A е         Допирателен вектор към кривата f(x,y)=C tf
Да диференцираме равенството g( x,y ) = C:         Диференциал на g(x,y) dg
Това равенство показва, показва, че         Допирателен вектор към кривата g(x,y)=C orthogonal
Тогава векторът (dx, dy) е успореден ( колинеарен ) на вектора         Допирателен вектор tf1
Условието за това е съответните координати на двата вектора да са пропорционални т.е.         Колинеарност Proportion
Решавайки това диференциално уравнение намираме неизвестната функция g( x,y ) = C.
1 . Ортогоналното семейство на линиите с уравнения x + y = C са линиите x - y = C.
доперателен вектор Ex1_1
Диференциално уравнение с отделящи се променливи и неговото решение        
( Това беше диференциално уравнение с отделящи се променливи и неговото решение. )
Семейства перпендикулярни прави Draw1
2. Кое е ортогоналното семейство на окръжностите x 2 + y 2 = R 2        
Допирателен вектор Ex2_1
Тук, както и на останалите места, стрелката означава замяна на вектора с друг, колинеарен нему.
Диференциално уравнение Ex2_2
Това е диференциално уравнение с отделящи се променливи. Решение Ex2_3
Концентрични окръжности и централни прави Draw2
3. Ортогоналното семейство на елипсите с еднакъв екцентритет Елипси с еднакъв екцентритет Ex3_0 е . . .
Допирателен вектор Ex3_1
Диференциално уравнение и неговото решение Ex3_2
Това е положението Draw3
4. Кое е семейството, ортогонално на равнораменните хиперболи x 2 - y 2 = a 2
Допирателен вектор Ex4_1
Диференциално уравнение и неговото решение Ex4_2
Семейство `спрегнати хиперболи` Draw4


Какво ще научим:        Ортогоналност на две семейства спрегнати хармонични функции
Ортогонални семейства криви върху повърхност