Що е диференциална форма – ненаучно обяснение
В живота си нивга не бях се надявал
на толкова мил комплимент:
покани ме Дявола - старият Дявол -
в дома си на чашка абсент.
Христо Смирненски „Приказка за честта”
Ще разглеждаме диференциалните форми като израз от вида
ω се нарича диференциална форма от ред k или k -форма над n - мерното векторно пространство.
Броят на събираемите в сумата е
. При k > n се приема че формата е нулева.
Коефициентите
са функции на променливите (x1 , x2 ,... xn ).
Изразът
ще наричаме базисна k -форма.
а заедно с коефициента
- елементарна k -форма.
Знакът ^ е знак за външно произведение.
Наборът от k различни числа между 1 и n - (i1, i2, ..., ik ) ще наричаме
мултииндекс и ще го означаваме с Ik .
Мултииндекса Ik ще наричаме подреден във възходящ ред ако
1 ≤ i1 < i2 <... < ik ≤ n .
Базисната k-форма ще означаваме с
а
е елементарна k-форма.
За всеки два индекса i и j е изпълнено
dx i Λ dx j = -dx j Λ dx i
Външното произведение е ( противоразместително ) антикомутативно. В частност:
dx i Λ dx i = 0
То се изразява чрез тензорното произведение по следния начин:
Това равенство може да се запише като детерминанта:
Трябва да се има предвид, че тензорното произведение не е разместително ( комутативно ) и че при изчисляването на
детерминантатта трябва да се спазва възходящия ред на номера на редовете на елементите в произведенията.
Първият множител във всяко произведение е от първия ред, вторият множител е от втория и т.н.
Предвид че произведенията са тензорни сме поставили знака за тензорно произведение отдясно долу след детерминантата.
Подобно можем да представим външното произведение съдържащо три множителя:
като сума от 6 тензорни произведения.
По традиция в тримерното пространство не се използват индексни означения за dxi а dx, dy и dz.
Пропуска се и знакът за външно произведение ^.
При 2-формата се използва обикновено dzdx а не dxdz.
1-формите се записват във вида: Pdx+Qdy+Rdz
2-формите - Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
3-формите - Pdxdydz
Събиранията на две k-форми и умножаването по функция се дефинират по естесвен начин.
Събирането на две k - форми се извършва като се подредят индексите във възходящ ред и след това се извърши приведение.
Въпреки това k-формите не образуват векторно пространство, понеже множеството от функциите не образуват поле.
k-формите образуват модул над пръстена на функциите.
В съвременния си вид диференциалните форми са открити от френски математик Ели Картан - един от фамилията!
Това е станало в далечното минало – през периода 1869 - 1951 г.
?