Четем - пишем! Ако не пишем - не четем!
Какво трябва да знаем:       Външно произведение на две диференциални форми       Пермутации
Външно диференциране на диференциални форми      
Преход от полярна координатна система в декартова и обратно 		Висша математика II част
Векторен анализ
Диференциална геометрия

Оператор на Ходж

Тази вечер Витоша е тъй загадъчна и нежна –
като теменужен остров в лунносребърни води,
и над смътния и́ гребен, сякаш в болка безнадеждна,
се разтапят в тънка пара бледи есенни звезди.
Христо Смирненски „Цветарка”
Този оператор съпоставя на една k-форма φ в Rn (n-k) -форма в Rn, в известен смисъл допълнителна на φ. Последната се означава с *φ.
OpH1-Операторът на Ходж
"Колибката" означава че символът под нея се пропуска а sign - знакът на пермутацията. Той е +1 или -1 в зависимост от нейната четност.
Пример 1.
Ще намеря *dxi в R3.
OpH1R3_1 -Операторът на Ходж в R3
Пример 2. dx4 чрез оператора на Ходж в R5 се преобразува в ?
За произведение на k на брой форми от вида dxi се дефинира равенството:
OpH_Rn_1 -Операторът на Ходж в Rn
След като можем да намираме образа при оператора за базисни форми можем да го дефиниреме и за произволна k-форма.
Ще използваме множествени индекси:
OpH_Def1 -Операторът на Ходж - дефиниция

Пример 3. Ex3_1-- Пример в R3
Задача 1.
В R3 има 4 възможни диференциални форми ω ωk , където k се променя от нула до три.
Ще намеря техните образи при оператора на Ходж. ?
Ако приложим два пъти оператора на Ходж към една форма се получава същата форма с точност до знак.
*( *(ωk ) ) = (-1)k(n-k) ωk

Представяне на делта чрез оператора на Ходж и външната производна

Ако f е функция на (x1, x2, x3, …, xn) то Δf ( оператор на Лаплас) е сумата от вторите производни на f спрямо всяка една от нейните променливи.
DeltaOp1-- Оператор на Лаплас
Например ако f = f(x,y,z) то Δf = fxx+ fyy+ fzz .
В сила е формулата Δf = *d(*df). която свързва оператора на Лаплас с този на Ходж и диференцирането на диференциални форми.
Ще покажа, че формулата Δf = *d(*df) е вярна в R2 . ?

Делта операторът в полярни координати R2

Ще използвам формулата Δf = *d(*d(f)). за представянето на Δf в полярни координати в R2. Ще работя по следния план:
1 . Изразявам dr и dθ чрез dx и dy като използвам възможно най-много променливите (r, θ). ?
2. Изразявам външното произведение dr Λ dθ като използвам възможно най-много променливите (r, θ). ?
3. От точка 1. намирам *dr и *dθ. ?
4. Намирам от 2. *(dr Λ dθ) като функция на (r, θ) а не на (x,y). ?
5. От 3. и 4. намирам *(*(df)) което е Δf. ?

Случай за концентрични функции

Да предположим, че функцията f зависи само от r но не и от θ .
Тогава уравнението на Лаплас Δf=0 в полярни координати придобива вида DEq1 уравнението на Лаплас в R2 в полярни координати за концентрична функция .
В R2 то има решение DEq2 – - решение на уравнението на Лаплас в R2 в полярни координати за концентрична функция
а в R3 , за концентрични функции решението на уравнението на Лаплас е DEq3 решение на уравнението на Лаплас в R3 в полярни координати за концентрична функция .
Тези решения се наричат основни решения на уравнението на Лаплас.

Какво ще научим:    
Интегриране на диференциални форми
Свойства на диференциалните форми – справочник
Задачи, упражнения и приложение на диференциалните форми 		Висша математика II част
Векторен анализ
Диференциална геометрия