Четем - пишем! Ако не пишем - безсмислено е да четем!
Какво трябва да знаем:       Криволинеен интеграл от II род (по координати)       Бутаме напред, дърпаме назад.
Смяна на координатите на диференциална форма до форма с минимален брой променливи      
Външно диференциране на диференциални форми       		Висша математика II част
Векторен анализ
Диференциална геометрия

Интегриране на диференциални 1-форми

Съществува легенда, че Ботйов е бил ранен,
заловен и откаран в затворите на Диарбекир.
Доста време се е очаквало завръщането му.
Христо Смирненски „Христо Ботев”
Какво трябва да знаем По определение Областта на интегриране се бута напред а формата се дърпа назад--Pull1 Тук ω е k-форма и P е k-мерна повърхност. k е преобразувание , привеждащо P в по-удобен вид. За предпочитане е k*(P) да бъде правоъгълник или поне криволинеен трапец в n-мерното пространство.
Определянето по този начин на интеграла изисква доказателство за независимостта от k , доказателство, което ще пропусна.
Интеграл от k- форма се свежда до k-кратен интеграл.
Повърхността P е ориентирана.
Ако размерността на P е 1 ориентацията се определя от посоката на обхождане на кривата.
При интегрирането на диференциални форми важна роля играе обобщената теорема на Стокс: Обобщена теорема на Стокс--Stokes
Равенството Областта на интегриране се бута напред а формата се дърпа назад --Pull1 е в сила независимо от това дали k запазва ориентацията или не.
Често се налага k*(P) да се разделя на части за удобство при параметризирането и интеграла да се изчислява за всяка една от тях.
Разглеждам четири пътя свързващи точките (0, 0) и (1, 2).
Първите два са разделени на два участъка – ci1 и ci2   i=1..2. Четири пътя—Pict1 Ще намеря стойностите на интегралите на двете 1-форми Две 1-форми--21Forms по четирите пътя.
По тях ще интегрираме и сумата на двете форми. Резултатите ще подредим в таблица. Таблица за попълване --Table ?
След попълването на таблицата получаваме: Таблица – резултат --Table2 Стойностите в третата колона се получават като сума на първите две.
Имам обосновано подозрение, че интегралът от φ+ψ не зависи от пътя на интегриране, свързващ точките (0, 0) и (1, 2).
Това е така, защото формата φ+ψ е точна понеже φ+ψ = d(x2y).
Прилагайки обобщената теорема на Стокс за точната форма d(x2y) получаваме: Интегралът от точна форма не зависи от пътя--Integrals1
Трябва да обърна внимание на различния смисъл на употребата на прилагателното „затворен”.
Формата φ е точна, ако съществува форма ψ , за която φ=dψ.       ψ се нарича потенциал на φ.       Ако φ е 1-форма то потенциала ψ е 0-форма т.е. функция.
Формата φ е затворена, ако dφ=0. Всяка точна форма е затворена, защото d2φ=0.
Кривата l = l (t) t ∈ (t0 , t1 ) е затворена ако крайната и точка съвпада с началната: l (t0) = l (t1) .
Интегралът на точна форма по затворена крива е равен на нула.
Това следва от обобщената теорема на Стокс. ?
Ще разгледам 1-формата ω в R4: Точна 1-форма--_1From
„Колибката” над координатата над променливата означава нейното отсъствие в съответното произведение. Тази форма е точна. ?
Да разгледаме още Интеграл по затворена крива --Integral1 по кривата Затворена крива--Curve1
Тя е затворена, защото l(0) = l(2π) = (0, 0, 0, 0).       Следователно Интеграл от точна форма по затворена крива е нула--Integral2
Това равенство може да се обоснове и като интегралът от ω се приведе до интеграл в „правоъгълника” ( в случая интервал) [0, 2π]. ?
Понеже ω е затворена форма интеграл от ω по незатворен път е равен на разликата в потенциалите на крайните точки. ?
Ще разгледам точната форма Точна форма--_1Form2_1 с потенциал xz по отворената крива Отворена крива--Curve2 ,
свързваща точките (1,0,0) и (1,0,1).       Ще изчисля интеграла от тази форма по кривата l. ?
Най-важни са примерите от физиката.
В тримерното пространство (x,y,z) силата на тежестта е с координати (0,0,gm).
Елементарната работа на съответното векторно поле е е 1-формата 0dx+0dy+gmdz.
Тази форма е затворена, защото е равна на d(gmz).
Потенциалната функция mgz, която обикновено се означава с mgh се нарича кинетична енергия.
В тримерното пространство, с разположени в него две тела с маси M и m на второто тяло действа сила с големина Сила на гравитачиято--Gravitation1
Елементарната работа на това векторно поле се получава като умножем скаларно силата по елементарното преместване, което е с координати (dx,dy,dz).
Получава се затворена 1-форма Елементарна работа на гравитационното поле--Gravitation2 с потенциал Потенциал--Gravitation3 .
Какво ще научим:    
Интегриране на диференциални 2-форми
Висша математика II част
Векторен анализ
Диференциална геометрия