Външно произведение на две диференциални форми

Какво трябва да знаем: Увод Що е диференциална форма – ненаучно обяснение

Външно произведение на две диференциални форми

В неделя Дявола облече расо -
любимия си тоалет;
и с тънка и загадъчна гримаса
огледа се добре отвред.

Христо Смирненски „Приказка за тинята”

Нека α и β са две диференциални форми от ред k и l (ел).
Целта ни е да дефинираме тяхното външното произведение α^β, което представлява k+l-форма.
Да започнем с външното произведение на две базисни форми

Тогава

Изпълнява се съдружителният (асоциативният ) закон.
Ако между индексите на I_k и J_l има два еднакви то

Ако всички са различни и желаем да ги подредим във възходящ ред трябва при всяка смяна на местата на два съседни множители dxⁱ и dx^j да спазваме правилото .
По общо при смяна на два множителя, dxⁱ и dx^j , не непременно съседни, знакът се променя.
Например, ако желаем да променим индексите в базисната форма във възходящ ред можем да променим първия и последния член променяйки знака на произведението .
След това сменяме местата на множителите dx³ и dx² : .
И най-накрая -на първите два:

Естествено се въвежда и произведението на две елементарни форми:

А сега определението за външно произведение на диференциални форми:
Нека ω_k и ω_l са k и l - форми като

Тяхното външно произведение ω_k Λ ω_l е диференциална (k+l) - форма , която се получава като се разкрият скобите в _Mult2DF2 - Външно произведение

използвайки разпределителното ( дистрибутивното) свойство като диференциалите се записват отдясно.
След това индексите в базисните форми

се подредят във възходящ ред като се използва противоразместителното свойство.
И най-накрая се извърши приведение на подобните членове.

Трудно се изказва - лесно се показва!

Разкриваме скобите, като диференциалите записваме отдясно.

Ако в едно произведение от диференциали има два равни то произведението е нула:

Ще намерим произведението ω₁^ω₂ за да проверим дали при вътрешното произведение е изпълнен разместителния закон ?
В този случай се получи, че

. В общия случай това не е така
Ако ω_k и ω_l са k и l (ел)-форми то ω_k Λ ω_l = (-1)^k.l ω_l Λ ω_k
Нека n=3. В този случай променливите се означават с dx, dy и dz и се пропуска знака ^ за външно произведение.
При външно произведение на две форми, понякога, ще пропускаме и знака ^.
Ще разгледаме примери с тези означения.

= ?
Нека

1. Намерете φ₁ψ₁ и φ₁ρ₂
2. Вярно ли е че (φ₁ψ₁)ρ₂=φ₁(ψ₁ρ₂) ?
Да се върнем към общите означения в n мерното пространство.
Нека

?
Ако ω_k е k-форма и k е нечетно число то

Какво ще научим: Външно диференциране на диференциални форми

Висша математика II част
Диференциална геометрия