Какво трябва да знаем: Що е диференциална форма – ненаучно обяснение      
Външно произведение на две диференциални форми       		Векторен анализ
Диференциална геометрия

Външно диференциране на диференциални форми

Погледна Дявола с усмивка блага,
повдигна странно рамена
и ритна с крак възпрялата до прага
огромна, грухтеща свиня.
Христо Смирненски „Приказка за тинята”

Нека ω ω0 = α е 0-форма над Rn и α е функция на n-те променливи (x1 , x2 ,..., xn ) .
Тогава d(ω0) е 1-формата _1Frm1-Пълен диференцал
И изобщо за k- формата       k_Frm1 k-форма       d(ωk) е (k+1)-формата       dk_Frm1 (k+1)-форма ,
където _Der0Frm1 е частната производна на k_Frm01 k-форма спрямо xi .
Пример 1.
Ex1_1 2-форма
защото след разкриването на скобите се получават базисни форми с повтарящи се dxi .
Пример 2.
Ex2_0 1-форма .       Да не се бъркат горните индекси със степените!         Ще намерим d(ω1) и d(d(ω1)) =: d2(ω1) = ?
Пример 3.
Ex3_0 -Пример 3         d(ω1) = ?
Ето един пример (4) с традиционните означения
Ex4_0 -Пример 40         d(φ1)= ?
С цел да намерим производната на произведение на две диференциални форми ще започнем с две елементарни.
Нека _ElDF1 k-форма
Ik е наборът от подредени индекси ( i1 , i2 , i3 ,... ik ) а dxIk1 е базисната _BDF1 базисна k-форма k- форма.
DA00 диференцирана базисна k-форма където _Der0Frm1 - частна производна е частната производна на спрямо xi .
Нека още DBeta1
Тогава диференциалите DiffA1 диференциали са диференциални 1-форми DiffAB1 външно диференциране на произведение
Използваме правилото на Лайбниц за диференциране на произведение на функции. Laibnic1 -диференциал на произведение на функции
Разкриваме средните скоби:
Br1 -външно диференциране на произведение от 2 форми
При второто прехвърляне използвахме формулата : L1 Формула на Лайбниц
Получаваме:
d(α Λ β) = d(α) Λ β + (-1)kα Λ d(β)

Последната формула се нарича формула на Лайбниц за диференциране на диференциални форми.
От свойството d(α+β)=d(α)+d(β), изпълнено за произволни две k-форми следва, че формулата на Лайбниц е изпълнена за произволни две k и l-форми с променливи (x1, x2,.., xn) а не само за елементарни.
      Нека α е 0-форма с непрекъснати частни производни от втори ред (α∈C2)
Тогава е в сила равенството на смесените производни спрямо xi и xj:       MixDer1 смесена производна
Ще докажем, че диференциалът d(d(α)), който ще означаваме с d2(α) е нула.
Нека α е функция на (x1, x2,.., xn)     (0-форма). DA2 първо диференциране
Да диференцираме една елементарна 1-форма от тази сума още един път . DadxI1
За еднакви индекси i и j         dxixj10 противоразместителност
За различните групираме събираемите по двойки:         Adxixj10 групиране
Поради противоразместителността (антикомуникативността ) на външното произведение получаваме:         AntiCom1
От равенство на смесените производни този израз е нула, така че d 2(α)=0


Какво ще научим:    
Вътрешно произведение на диференциална форма с вектор
Висша математика II част
Диференциална геометрия