Какво трябва да знаем: Що е диференциална форма – ненаучно обяснение       Висша математика II част
Векторен анализ
Диференциална геометрия

k-форма, приложена в точка към набор от k вектора дава число!

В неделя Дявола облече расо -
любимия си тоалет;
и с тънка и загадъчна гримаса
огледа се добре отвред.

Действително в корема бе печален
и - за да не бъде толкоз сух -
беляза своя символ синодален
с една възглавница от пух.

- Една вечерна пролетна разходка? -
ми кимна леко той с рога.
- Виж, вечерта е кат вдовица кротка
и цяла в нега и тъка...
Христо Смирненски „Приказка за тинята”

Нека BasFrm1 е базисна k-форма над Rn . Нека още Vk=(v1, v2, ..., vk ) е набор от k вектора над Rn .
Ще считаме, че тяхна начална точка е точката p.
Чертеж
Тогава в резултат от действието на dxIk върху Vk се получава число.
Но как?

Нека векторът vj от Vk има координати (vj1 , vj2 , vj3 , ...,vjn) .       Тогава
Стойност на базисна к-форма за набор от к вектора _velOfBas_k_Frm1
Пример 1.
ω3 = dx2 Λ dx1 Λ dx3       V3 =( v1 , v2 , v3 )       vi ∈ Rn и има координати vij .
Тогава:       Стойност на базисна 3-форма за набор от 3 вектора -Ex1_2
Ако k-формата е представена като линейна комбинация от базисни k-форми вектори с подредени мултиинедекси Ik т.е.
ωk = Σ αIk dxIk
където αIk са функции на (x1 , x2 , x3 , ...,xn)     то
ωk(Vk) = Σ αIk dxIk(Vk)

Стойностите на функциите αIk се изчисляват при координатите на точката p.
Пример 2.
ψ2 = (2x+y) dxΛdy е диференциална 2-форма в R3 .
Дадена е точката p(2,1,0) и два вектора v и w, приложени към нея, с координати v (2,3,8) и w (1,5,-3) .     Ще намерим ψ2, p (v, w).
Изчисляваме ψ2, p като заместим x и y с координатите на p : ψ2, p = 5.dx^dy
Изчисляваме ψ2, p (v, w) имайки предвид, че       Стойността в базисната форма -Ex2_2:
Стойността на формата -Ex2_3
Пример 3.
φ2 = x2yz dyΛdz -xy2 dzΛdx - 40 dxΛdy
Точка p има координати p(2,5,3) и към нея са приложени двата вектора v(2,3,1) и w(-1, 0, 4).
Изчисляваме -
-Ex3_2

Какво ще научим:    
Първо умножаваме и после изчисляваме или обратно: (α Λ β)(v,w) = α(v) ?♣? β(w)      
Висша математика II част
Векторен анализ
Диференциална геометрия