Какво трябва да знаем: Действия с матрици       Матрица на Якоби (Якобиан - преход от едни координати към други в равнината)       Пълен ( тотален ) диференциал       Външно произведение на две диференциални форми       k-форма, приложена в точка към набор от k вектора дава число!       Векторен анализ
Диференциална геометрия

Смяна на координатите на диференциална форма до форма с минимален брой променливи


Спокоен той спря сред арената ширна,
спокоен изправи глава - ...                        

Христо Смирненски „Гладиатор”

Една диференциалната k-форма ωk =ΣαIkdxIk при дадена точка p и набор от k вектора Vk = (v1 , v2, ..., vk ) ( където vi са от Rn ) съпоставя число.
Но работата е по-сложна. ωk е зададена върху k-мерна повърхност Hk в Rn .
Понятието k-мерна повърхност Hk в Rn за Нас ще бъде набор от n функции, всяка от която е с k аргумента T = (t1 , t2, ...,tk )
Тези аргументи ще наричаме локални координати на повърхността Hk .
DrowSurf1 k-мерна повърхност
Точката p е от Hk а Vk са допирателни вектори към Hk в точка p.
DrowSurf2 2-мерна повърхност и двойка допирателни вектори към нея в точка p
Формата ωk =ΣαIkdxIk е зададена в Rn .
Ще я означаваме с ω k,X . Нашата цел е да я дефинираме в Rk за локалните координати T = ( t1 , t2, ...,tk ) на Hk .
Така дефинираната нова форма в Rk ще означаваме с ωk,T .
Нека pT е точка от Rk . Чрез функциите xi = xi(t1 , t2, ...,tk)     i = 1...n     ще получим точка от Hk - подмножество на Rn .
Смяна на координатите на точка -DrowSurf3
Нека са дадени k на брой вектори от Rk – Vk = ( v1 , v2, ..., vk )
Всеки от тях има локални координати vi,T = ( ti1 , ti2 , ... , tin )       i=1...n .
В пространството Rn тези координати се преобразуват по правилото :
Преобразуване на векторите от X–координатна система в T–координатна система. -Change1
Понеже записваме обикновено координатите на векторите като редове, използваме прим ( знак за транспониране ) за записа им като стълбове.
Смяна на координатите на точка и на набор от вектори -DrowSurf4

Матрицата -частна производна -PartDer1 от вид n x k е матрицата на Якоби в точка pT , която ще означаваме с частна производна в точка -PartDer2 .
Матрицата на Якоби в точка pT е числова матрица, така че нямаме трудност с изчисляването на векторите Vk, X.
Така получаваме точка pX и k вектора Vk, X в Rn .
Полагаме ω k, T, pT ( Vk, T ) да бъде стойността ω k, X, pX ( Vk, X )         Разгледайте някои илюстрации, моля!
Да обобщим и систематизираме:
Дадена е k-форма върху k-мерна повърхност Hk в Rn , която ще означим с ω k,X .
Hk е параметризирана с параметри T = ( t1 , t2, ...,tk ) от Rk.
Параметризацията се задава с n уравнения от вида xi = xi ( t1 , t2, ...,tk )       i = 1...n
Желаем да получим k- форма над Rk .       Тази форма ще означаваме с ω k,T .
Дефинираме я така:
Нека pT = ( t1 , t2, ...,tk ) е точка от Rk и Vk, T е набор от k вектора от Rk .
Намираме образа на pT , който ще означим с pX .       pX = ( x1(pT), x2(pT), ... , xn(pT) ) .
Изчисляваме ωk,X в тази точка.
Ще се получи квадратична форма над Rn с постоянни коефициенти.
Намираме образите на векторите набора от Vk,T по формулата Преобразуване на векторите от X–координатна система в T–координатна система. -Change2 .       Техният набор от ще означим с Vk, X .
След това изчисляваме ω k, X, pX ( Vk, X ) и това число ще бъде стойността на ωk,T , приложена в точка pT за набора от k вектора Vk, T от Rk .
Смяна на координатите на точка и на набор от вектори -DrowSurf4
Но как да намерим аналитичния израз на ωk,T , който има вида ωk,T = β.dt1 Λ dt2 Λ ... Λdtk ,
където β е функция на ( t1 , t2, ...,tk ) ?
Във формата       к-форма с мултииндекси в X координатна система -Omega_k2  ,   където α Ik са функции от ( x1 , x2, ..., xn ) а dxIk са базисни диференциални форми от вида
dxi1 Λ dxi2 Λ ... Λdxik в α Ik трябва да заместим xi с xi ( pT ) а в базисните диференциални к-форми dx j с Пълен диференциал -TotalDiff1 .
След това да умножим външно и да направим приведение.
Пример 1.
ω1,X= 2xyzdx-y2dy-(yz-30)dz     е едно-форма в R3 , дефинирана върху кривата H1 , параметризирана с (x, y, z) = ( t, t2, t3 ) .
Ще намерим ω1,T
Заместваме в „коефициентите” на ω1,X променливите (x, y, z) с техните равни , а диференциалите с:
dx = dt, dy = dt2 = 2tdt, dz = dt3 = 3t2dt .
Получаваме:
ω1,X = 2t6dt - t4dt2 - (t5-30)dt3 = 2t6dt - 2t5dt - (t5-30)3t2dt = t2 (2t4 - 2t3 - 3(t5-30) ) dt
Нека t=1. Тази единствена координата определя точка pT . pX = (1, 1, 1 )
Нека vT = (1) е вектор от R1 .
Той се преобразува чрез Смяна на координатите на едномерен вектор -ChangeCOOrd1 в Резултатът е тримерен вектор -ChangeCOOrd2       Този вектор е допирателен към H1 в точка pX.
При t=1 формата в точка pX = (1,1,1) е ω1,X,pX = 2.dx - dy - (1-30).dz .       ω1,X,pX(V1,X) = 2.1 - 2 - (1-30).3 = 87.
Същата стойност се получава и за ω1,T,pT(V1,T) за pT = (1) и vT = (1).
Пример 2
Формата ω2 = dx^dy е зададена в X=(x,y). Ще я изразим в полярни координати (ρ, φ):      полярни координати -PolCoords1
Образите на два единични вектори -DrowEx2

Намираме пълните диференциали на x и y и след това ще намерим тяхното външно произведение.
пълни диференциали -Jcob1           1-формата в полярни координати -QuadrFrmEx2

Якобианът на тази смяна е: Матрица на Якоби -Jcob2
Да разгледаме двата единични вектора в системата (ρ,φ) и да намерим техните образи в X.       v1=(1,0), v2=(0,1) .
Как се преобразуват тези два вектора?       Намирането на образите на единичните вектори -ConvEx2_1
Нека сега в точка p(ρ,φ) с координати (ρ0,φ0) са приложени двата единични вектора.
Ще намерим стойността на формата ω2, (ρ,φ) .
-стойността на формата -ConvEx2_2

Пример 3.
Как се променя базисна к-форма в Rn при смяна на координатите?
Пример 4.
Нека в R3 е зададена повърхността H2, параметризирана с (x,y,z) = (u2 +v, 2u-v, u+v3 ).
Върху H2 е зададена 2 –формата ω2 = zdydz + (y+1)dzdx – dxdy. Ще преобразуваме ω2 в системата U=(u,v).

Какво ще научим:    
Криволинеен интеграл от II род (по координати)       Интеграл по повърнина от втори род (по координати)      
Висша математика II част
Диференциална геометрия