Какво трябва да знаем:  Пълен ( тотален ) диференциал   Външно произведение на две форми  
k-форма, приложена в точка към набор от k вектора дава число!      
Смяна на координатите на диференциална форма до форма с минимален брой променливи      
Бутаме напред точки и вектори. Дърпаме назад функции и форми. 		Висша математика II част Векторен анализ
Диференциална геометрия

Бутаме напред точки и вектори. Дърпаме назад функции и форми.
И наистина бутаме! И наистина дърпаме!

Да бъде крепка, братя,
десницата ви свята!
Вий първи в тъмнината
запалихте звезда. 		Лъчът и́ ще учуди,
зовът и ще пробуди
задрямалите люде
към хляб и свобода.
Христо Смирненски „Северно сияние”

Досега дадохме абстрактни дефиниции на бутането напред и дърпането назад. Да видим как конкретно се извършват тези действия.
Нека N е оста R и k е изображение от N в M=R3 , зададено с t →(x(t), y(t), z(t)).
Тогава единичния вектор i в R, приложен в t се изобразява в допирателния вектор (x/(t), y/(t), z/(t)) , защото k*(i) = (k(t))/ .
Fig1 Преход от едномерното пространство в тримерното

Твърдение:
Нека l : x=x(t), y=y(t), z=z(t), е крива в M=R3 със зададена върху нея 1-форма φ =A(x,y,z)dx+ B(x,y,z)dy+ C(x,y,z)dz и нека N отново е оста R. k: t → (x(t), y(t), z(t)) .
Тогава k*(φ) = ( A(t)x/(t) dt + B(t)y/(t) dt + C(t)z/(t) )dt.
Защо?:
N е правата Ot.     Векторите в N са единични вектори (t/=1) , приложени в различин точки p.
k*(p(t)) = ( A(x(t),y(t),z(t)), B(x(t),y(t),z(t)), C(x(t),y(t),z(t)) ) = ( A(t), B(t), C(t) )
Нека i е вектор от N.
Той е приложен в точка p(t) и е с една единствена координата 1. При изображението k* векторът i се изобразява във вектор от M с координати (x/ , y/ , z/ ).
Към този вектор да приложим 1-формата φ. Получаваме числото A(t)x/(t)+ B(t)y/(t)+ C(t) z/(t).
Следователно k*(φ), която е 1-форма в N е ( A(t)x/(t) dt + B(t)y/(t) dt + C(t)z/(t) )dt.
Нещата вече се изясняват

Бутане напред на точки и вектори

Нека N е повърхнина с координати (x1, x2, x3, ..., xn) и координатите на M са (y1, y2, y3, ..., ym)
Нека p е точка от N.
Тя се задава със своите координати (x1, x2, x3, ..., xn).
Да зададем изображение k от N в M означава, че задаваме m на брой функции yi = yi(x1, x2, x3, ..., xn) (i=1..m), съпоставящи на всяка n-торка (x1, x2, x3, ..., xn), ( която съответства на точка p от M ) m на брой стойности yi, които съответстват на точка q от M. p = (x1, x2, x3, ..., xn) q = k*(p) = (y1, y2, y3, ..., ym) , където yi = yi(x1, x2, x3, ..., xn) ( i=1..m )
Нека v е вектор, допирателен към повърхнината N в точка p.  
v има m локални координати (a1, a2, a3, ..., am) и се представя с производните n на брой функции xi = xi(t).
Техните производни при t=0 са координатите на вектора v = (a1, a2, a3, ..., an) .
При прехода k* точките p(t) = (x1(t), x2(t), x3(t), ..., xn(t)) при променящо се t преминават в q(t) = ( y1(p(t)), y2(p(t)), y3(p(t)), ..., ym(p(t)) ) .
Стойността на производната на тази векторна функция при t=0 е образът на вектора v.  Ще го означаваме с k*(v) . k*(v) е допирателен вектор към M в точката q .

Дърпане назад на функции и форми

Нека f е функция в M.     Това означава, че на всяка точка от M е съпоставено число.
Имаме съпоставяне k* на точка от N точка от M.     Нека p = (x1, x2, x3, ..., xn) е точка от N.
Можем да бутнем напред p до точката q=k*(p) по описания начин.     Полагаме k*(f)(p) = f(q). k*(f) (x1, x2, x3, ..., xn) = f( y1(p), y2(p), y3(p), ..., ym(p) )
Нека φ е s–форма в M. φ се представя като сума на едночлени от вида MainFrm1--Основна диференциална форма
k* се представя като набор от m на брой функции от вида yi = yi(x1, x2, x3, ..., xn) yi се замества с yi(x1, x2, x3, ..., xn) в A.
Диференциалите Dif_y1--Диференциали се заместват с TotallDiff1--Пълен диференциал
След това се изпълняват външните произведения BasFrm1—Базисна s-форма и се извършва приведение.
Така получаваме k*(φ) , която е s-форма в N.
Да не забравяме, че формите в N се прилагат към допирателни вектори към същата повърхнина, приложени в точка p от нея.
Какво ще научим:   Примери Задачи
Свойства на дърпането назад по отношение на дифиренцирането, външното произведение и композицията 		Висша математика II част
Векторен анализ
Диференциална геометрия