Примери

Какво трябва да знаем: Пълен ( тотален ) диференциал Външно произведение на две форми
k-форма, приложена в точка към набор от k вектора дава число!
Смяна на координатите на диференциална форма до форма с минимален брой променливи
Бутаме напред точки и вектори. Дърпаме назад функции и форми. И наистина бутаме! И наистина дърпаме!

Висша математика II част
Векторен анализ
Диференциална геометрия

А бликат снежинки сребристи,
прелитат, блестят кат кристал,
проронват се бели и чисти
и в локвите стават на кал.

Христо Смирненски „Зимни вечери”

Примери

Пример 1 Да разгледаме изображението k = k_* : R² → R³ , като

.
В R² е зададена 1-формата

Ще намерим k^*(φ) , която е 1-форма в R² .
Заместваме x, y и z в коефициентите на формата:

Изчисляваме диференциалите dx, dy и dz TotalDiff2-Пълен диференциал

.
Заместваме ги след което извършваме приведение:

Пример 2 Да разгледаме изображението k:R→R².
Нека k(t) = ( cost, sint). В R² е зададена 1-формата φ = xdx+ydy
Ще намерим k^*(φ) , която е 1-форма в R . dx = -sintdt, dy = costdt.
xdx+ydy = -cost.sintdt+sint.costdt = 0.dt =0.
Пример 3 Нека върху единичната, горна полусфера (x,y,z) , при което x²+y²+z²=1 и z>0 е зададено изображението k: (x,y,z)→ (x,y) .
Нека още в равнината (Oxy) е дадена квадратичната 2-форма: Ex3Frm1 –2-форма

Да намерим дръпнатата назад k^*(φ), която е квадратична 2-форма в пространството (Oxyz).
Изразяваме x чрез y и z и намираме dx:

Подобно изразяваме y чрез x и z и намираме dy: Ex3_y1---Изразяване на y и диференциране

Намираме външното произведение dxΛdy и заместваме във Ex3Frm1–2-форма

Какво ще научим: Задачи
Свойства на дърпането назад по отношение на дифиренцирането, външното произведение и композицията

Висша математика II част
Векторен анализ
Диференциална геометрия