Втора основна квадратична форма

Какво трябва да знаем: Векторна функция и нейните производни Естествена параметризация
Триедър на Френе-кривина на линия Координатни линии на повърхнина
Първа основна квадратична форма Квадратични форми

Векторен анализ
Диференциална геометрия

Втора основна квадратична форма

Страницата е изработена от Руслан
Нека r е радиус-вектор на точка в декартови координати. r = r(u,v) е параметрично зададена повърхност σ с параметри u и v. r_u и r_v са допирателни вектори в равнината в точка P.
Векторното произведение r_u x r_v е нормален вектор към равнината в същата точка.
Нека m⁰ е съответният му, колинеарен единичен вектор: EQ1

Тази рисунка е заимствана и преработена от "http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3892/" Нека k: r(t)=r(u(t), v(t)) е крива минаваща през точка P.

Производната на r(t) -

е свързана с кривината на кривата.
Ако параметърът t е естественият параметър s то:

където N е главната нормала на кривата k .
Да намерим втората производна на r спрямо t:

И да групираме:

Така!
Сега да умножим скаларно по вектора m⁰ .
Понеже r_u и r_v са перпендикулярни на m⁰ то

Получаваме:

Тук

означава скаларно произведение.
Преминавайки към деференциали и записвайки равенството в матрична форма получаваме: Втора основна квадратична форма

Квадратичната форма от лявата страна се нарича втора основна квадратична форма на повърхнината σ.
Тя е свързана с кривината на кривите, преминаващи през точка P.
Матрицата матрица на втората квадратична форма

се означава обикновено с Matr2

Тази матрица се нарича матрица на втората основна квадратична форма.
Ако параметърът t е естественият параметър s, то

, където N е единичния вектор по главната нормала на кривата k.
Тогава

,
където θ е ъгълът между kN - главната нормала на кривата в точка P и единичния нормален вектор - m⁰ към повърхнината в същата точка.

Какво ще научим: Първа и втора основни квадратични форми, разгледани заедно