Какво трябва да знаем?
Отношения на точки върху права
Станчо Вълканов Павлов
Просто отношение на три точки върху права
Нека точките A и B са различни и точка C лежи на правата AB.
Върху правата AB избираме посока, например от A към B.
Под алгебрична мярка на отсечката AC се разбира нейната дължина, взета със знак плюс или минус,
в зависимост от това дали посоката от A към C съвпада или е противоположна на посоката, избрана върху правата.
Алгебричната мярка на отсечката AC се означава с
.
За всеки три точки A, B и C от права, с избрана върху нея посока, е в сила тъждетвото на Шал:
Просто отношение на три точки (ABC) в този ред се нарича отношението
Точките в простото отношение не са равноправни.
Точка A се нарича начало на отсечката AB, B - край на отсечката AB а
C се нарича точка, деляща отсечката AB.
Ако са дадени първите две точки от простото отношение (ABC) то третата точка се определя по единствен начин.
За правата AB се въвежда и несобствена или безкрайна точка -
AB∞ .
Приема се, че единствено за нея простото отношение е равно на -1. Приема се още, че всички прави,
успоредни на AB минават през нея.
Използват се изразите "C дели отсечката AB вътрешно или външно", ако C е
съответно вътрешна или външна точка за отсечката AB.
Зависимост между стойността на простото отношение λ=(ABC) и
положението на точка C върху правата
Ако A, B и C са произволни колинеарни точки и O е произволна точка от равнината,
то е изпълнено векторното равенство:
?
Простото отношение е инвариантно спрямо успоредното проектиране.
То се запазва и при централно проектиране върху две успоредни прави.
?
Ако се разменят местата на първите две точки в простото отношение, то се преобразува в своето реципрочно:
?
Групови свойства на простото отношение
За означения на трите точки в простото отношение ще използваме първите три цифри.
(123) = λ. В сила са равенствата [1]:
Ако се разгледат всевъзможните композиции от сложни функции на тези шест се оказва,
че се получават функции от същия вид.
По отношение на това "умножение" шестте елемента образуват група.
?
Теореми на Менелай и Чева
Теорема на Менелай
Нека точките
A1 , B1 и C1 лежат на страните
a, b и c на триъгълника ABC или на техните продължения.
Тогава точките
A1 , B1 и C1 лежат на една права, тогава и само тогава, когато
(ABC1) (BCA1)(CAB1) = -1 .
Доказателството и на двете теореми се извършва, като през единия връх на триъгълника се прекара права,
успоредна на срещуположната страна и отношенията, участващи в условието се изразят чрез тези на насочени отсечки по
двете успоредни прави.
Доказателството на обратните твърдения се основава на истината, че простото отношение определя положението на третата точка,
при дадени положения на първите две.
?
Теорема на Чева
Нека точките A1 , B1 и C1
лежат на страните a, b и c на триъгълника ABC или на техните продължения.
Тогава правите AA1 , BB1 и
CC1 се пресичат в една точка, тогава и само тогава, когато
(ABC1) (BCA1)(CAB1) = +1 .
?
Сложно отношение на четири точки
Нека A, B, C и D са четири колинеарни точки, като първите две са различни.
Сложното отношение се дефинира с равенството
w := (ABCD) = (ABC) : (ABD)
(ABCD) е равно на едно, когато точките от втората двойка съвпадат.
Почти винаги се предполага, че точките от първата двойка - AB са различни.
Свойства:
- При размяна на местата на двойките сложното отношение се запазва.
- При едновременна размяна на местата на точките от двете двойки сложното отношение се запазва, също.
- При размяна на местата на две точки от едната двойка сложното отношение се преобразува в реципрочното.
Сложното отношение се запазва при успоредно проектиране, поради това, че при него се запазват простите отношения.
То се запазва и при централно проектиране между две успоредни прави по същата причина.
Ще докажем, че сложното отношение се запазва и при произволно централно проектиране.
Нека четири точки от една права - A,B,C и D се проектират при централна проекция с център
S в други четири точки - A1B1C1D1 , от друга права.
Нашата цел е да докажем, равенството на двете сложни отношения -
(ABCD) = (A1B1C1D1).
Добре е да се направи чертеж!
През две съответни точки на централната проекция - B1 и B
построяваме две прави, успоредни на проектиращата права AS, означени с (') и (").
Основните разсъждения се извършват по отношение на подобните триъгълници
BDD' и DAS , от една страна и
B1D1D" и A1D1S от друга.
.
Насочеността на отсечките не е означена, но се има предвид.
По подобен начин се доказва и че
(A1B1C1D1) =
(C"B"B1).
Но простото отношение се запазва при централно проектиране върху две успоредни прави.
За пълния четиривръхник и хармоничните отношения в него- Теорема на Пап
Пълен четиривръхник е фигура, състояща се от четири точки в общо положение и шестте свързващи ги прави.
Точките се наричат върхове на четиривръхника а шестте прави - негови страни.
Ако страни, имащи общ връх те наричат съседни. Две несъседни страни се наричат още противоположни.
Трите точки в които се пресичат двойките несъседни страни се наричат диагонални точки.
Трите прави, свързващи две диагонални точки се наричат диагонали на пълния четириъгълник.
Един диагонал се определя от две двойки несъсени страни. Пресечните му точки с третата двойка несъседни страни ще наричаме допълнителни диагонални точки.
Добре е да направите чертеж, преди да погледнете моя.
Пълен четиривръхник
A,B,C,D-върхове ; (AB,CD), (BC,AD), (BD,CA)- двойки несъседни страни,
P,Q- диагонални точки, PQ- диагонал; R,S-допълнителни точки
Диагоналните точки и двете допълнителни върху него се делят в
хармонично отношение. Това е теоремата на Пап за пълния четириъгълник.
(ABCD) = -1
Разглеждаме две централни проекции на правата AD върху правата EC.
Първата е с център I а втората - с център F.
От свойството за запазване на сложното отношение следва
Знаем че при размяна на точките от първата двойка сложното отношение се преобразува в реципрочното.
Следователно (ABCD)2 = 1
Отношението (ABCD) не може да е единица, защото точките от втората двойка - C и D са различни.
Тогава (ABCD) = -1.
Какво ще научим: