Какво трябва да знаем?
Изогонални (равноъгълни) прави
Станчо Вълканов Павлов - Бургаски университет "проф д-р Асен Златаров" - stancho_pavlov@yahoo.com - 3 юли 2018 г.
Две прави, минаващи през върха на един ъгъл се наричат изогонални ако са симетрични на
ъглополовяща през същия връх.
Понятието "изогонален" означава "равноъгълен".
Ще разгледаме три свойства на равноъгълните прави.
Нека P и Q са две точки от двете равноъгълни прави за раменете AC и AB на ъгъла ∠CAB.
Тогава произведението от разстоянията от P и Q до CA е равно на това, на разстоянията от P и Q до CB.
Това свойство на равноъгълните прави може да се изрази така:
Произведението от разстоянията на две точки от две равноъгални прави до едното рамо на ъгъла е равно на
произведенията от разстоянията до другото.
?
Проекциите на точка от едната равноъгълна права до раменете на ъгъла образуват отсечка, която е
противоуспоредна на отсечката, образувана от проекциите на точка от другата равноъгълна права.
?
Отсечката, свързваща проекциите на точка от едната равноъгълна права на един ъгъл е перпендикулярна на другата
равноъгълна права.
?
В триъгълник са прекарани две равноъгълни отсечки. Едната от тях е продължена до пресичането с
описаната около триъгълника окръжност.
От тези четири точки могат да се открият две двойки подобни триъгълници. Кои са те?
?
Като приложение на тези подобия ще разгледаме теоремата на Птолемей.
Теорема на Птолемей
Във връзка с вписания четириъгълник, Клавдий Птолемей ( гръцки математик, работил в Александрия
около втори век след новата ера) е открил три теореми, носещи неговото име. Първата от тях е:
Теорема:
Произведението на дължините на диагоналите на един вписан четириъгълник е равано на сумата
от произведенията на дължините на срещуположните страни.
Доказателство: Построяваме равноъгълната отсечка AA2 на ∠CAB,
съответваща на диагонала AA0 .
Това равенство показва, че произведението на две противоположни страни е равно на произведението на единия
диагонал и на част от другия.
При разглеждането на другата двойка подобни триъгълници получаваме подобно равенство:
Събирайки последните равенства получаваме твърдението от теоремата на Птолемей.
Дължина на ъглополовящата в триъгълник
Ъглополовящата на ъгъл в триъгълник съвпада със своята равноъгълна, прекарана през същия връх.
Разгледаните свойства на равноъгълните прави ни позволяват да изразим нейната дължина
чрез страните на триъгълника.
?
Теорема на Щайнер
Произведението на разстоянията от единия основен връх на триъгълник до краищата на две равноъгълни
отсечки, прекарани през върха му, се отнася към произведението от подобните разстояния от другия основен връх
като се отнасят квадратите на дължините на прилежащите страни.
Доказателство: Да означим с d( T, t) разстоянието от точка T до правата t.
От това, че AK и AF са равноътълни, следва че произведението на разстоянията от точките K и F до AB е
равно на това до AC.
Да изразим тези разстояния чрез лицата на четири триъгълника, на които отсечките AK и AF разделят ΔABC:
Съкращаваме на 4 и получаваме отношението:
Изразяваме лицата на триъгълниците чрез основите им, разположени върху AB и получаваме теоремата на Щайнер:
Какво ще научим?