Какво трябва да знаем?

Проективно пространство върху права

Станчо Вълканов Павлов - Бургаски университет "проф д-р Асен Златаров" - stancho_pavlov@yahoo.com - 13-ти декември 2018 г.
    С V-0 означаваме ненулевите вектори от векторното пространство V. Неговите елементи ще наричаме вектори. Заедно с множеството от ненулевите вектори V-0 разглеждаме непразното множество P , чиито елементи ще наричаме точки и ще ги означаваме с големи латински букви - A, B, C…
Определение:
    Непразното множество P се нарича проективно пространство над полето на реалните числа R ако е дадено изображение Изображение-Map_1 удовлетворяващо аксиомите:
  1. Φ е сюрективно (всяка точка има първообраз)
  2. Два вектора се изобразяват в една точка тогава и само тогава, когато са колинеарни: Изображение-Map0

Проективна координатна система и проективен репер върху права
Хомогенни координати на правата

    Нека в равнината π е дадена права p и точка O - нележаща на нея. В равнината π е зададен още двумерен базис B={e1, e2 }. Базиса B={e1, e2 }, заедно с точката O, се нарича афинна координатна система. На всеки вектор v се съпоставя права a от снопа прави с център точка O и на правата a - точка A от правата p. A е пресечната точка на правата a с p.
Съпоставянето на права от снопа с център O точка от правата p се нарича перспективно съответствие или перспектива.
    Счита се, че на правата от снопа - успоредна на p се съпоставя безкрайната точка на последната.
Правата p, заедно със своята безкрайна точка се нарича разширена права.
Перспектива-Prspctv0
    По-нататък - на всяка права a от снопа се съпоставя двойка координати (x1 , x2 ) - тези на произволен ненулев вектор v - колинеарен на правата a.
Координатите на правата a от снопа и на точката A от правата p се наричат хомогенни.
Две двойки хомогенни координати (x1 , x2 ) и (y1 , y2 ) ще считаме за еквивалентни ако (y1 , y2 ) =(k.x1 , k.x2 )за някое k различно от нула.
На две еквивалентни двойки хомогенни координати, при даден базис се съпоставя една и съща права от снопа.
Нека на двойката базисни вектори e0 и e1 перспективно съответстват точките A0 и A1 от правата p, имащи хомогенни проективни координати, еквивалентни на (1, 0) и (0, 1).
    Ако са известни афинните координати (xi, yi) на Ai   i=1..2, то хомогенните проективни координати на произволна точка B(x, y) от равнината се определят по формулата:
Преход от афинни към хомогенни проективни координати-Map1
    Но достатъчни ли са тези две точки за определяне на базисните вектори и чрез тях на вектора, който съответства на произволна точка от правата p? Оказва се че не.
Перспектива- Prspctv1
    Необходимо е върху правата p да се посочи и друга точка, обикновено означавана с E, в която се изобразява векторът e=e0+e1 . Тогава, при дадени три точки A0 , A1 и E може, донякъде, да се определи афинния базис. Избира се произволна точка O и произволен вектор e - колинеарен на OE. Той се проектира върху лъчите OA0 и OA1 и векторите e0 и e1 се избират равни на тези проекции.
Перспектива- Prspctv2
На точка от правата p се съпоставят двойка хомогенни координати (x, y), поне едната - различна от нула , като две двойки (x1 , y1) и (x2 , y2) се считат еквивалентни, ако (x1 , y1)=k(x2 , y2) за някое различно от нула число k.
На точката A0 се съпоставят хомогенни координати (1,0) върху правата p, на A1 - двойката (0,1) а на Е (1,1).
    Как се определят хомогенните координати на произволна точка B от правата p? От трите реперни точки A0A1E се намира афинен базис по описания начин. Спрямо него се намират нехомогенните афинни координати на точка B от правата p. Тези координати са и хомогенните проективни координати на точка В, които са определени с точност до различен от нула множител . [1] стр. 613

Еквивалентни базиси

    Два базиса се наричат еквивалентни , ако базисните вектори на единия са ненулево число по тези на другия: B={e1 , e2 } ~ G={g1 , g2 } ⇔ (g1 , g2 )=(ke1 , ke2) k ≠ 0. На еквивалентни хомогенни координати, при два еквивалентни базиса, се съпоставя една и съща права от снопа. Колко точки от правата p определят еднозначно афинния базис B при дадена точка O? Две различни точки A1 и A2 от p, както вече бе казано, не са достатъчни. Нужна е трета. Нека E е трета точка от p. При перспективата на точка E се съпоставя правата e а на нея вектор e1 + e2 . Точките A1 , A2 и Е определят базиса B с точност до еквивалентност.

Изчисляване на двойното отношение при афинни и проективни координати

    Нека точките Ai са зададени със своите афинни координати (xi, yi) i=1..4. Самите точки ще отъждествяваме с двойката координати. Тогава означението Детерминанта-Det1 , в случая, ще представя детерминантата Детерминанта-Det2. Ще използваме изчислението на простото отношение чрез детерминанти. Нека A1 , A2 и A3 са три колинеарни точки в декартова координатна система като A3 = λ A1+ μ A2 . за някои λ и μ , като λ + μ =1.
Тогава за простото отношение (A1A2A3) е в сила:
Просто отношение- SmplRat0
    При произволна афинна координатна система простото отношение се изчислява по същата формула, понеже прехода от едната към другата се извършва чрез умножаване на координатните вектори с неособена матрица. За хомогенните координати Хомогенни координати-HomCrd1 е в сила равенството: Хомогенни координати- HomCrd2 Това ни дава възможност да изведем израза на простото отношение в хомогенни полярни координати:
Просто отношение- SmplRat1
То зависи от избора на хомогенните координати чрез коефициентите k1 и k2 : Просто отношение-SmplRat2
    Макар че простото отношение на три точки, изчислено чрез детерминантите на техните хомогенни проективни координати, зависи от множителите k1 и k2 , поради взаимното им съкращаване при сложното отношение Сложно отношение- CrossRat1 то се запазва при прехода от афинни координати в хомогенни проективни:
Сложно отношение-CrossRat2
Какво ще научим?