Какво трябва да знаем?

Поляра на точка относно две прави и полюс на права относно две точки

Станчо Вълканов Павлов - Бургаски университет "проф д-р Асен Златаров" - stancho_pavlov@yahoo.com - 4 ноември 2018 г.

    Ще използваме означението (a, b) за пресечната точка на двете прави a и b и (A, B) за правата, определена от точките A и B .

Теорема на Пап - III н.е.

Дадени са правите a и b на които лежат точките {1, 2, 3}и {I, II, III} съответно.
Тогава точките (1,II)(II,1)   ;   (1,III)(III,1)   ;   (2,III)(III,2) лежат на една права (са колинеарни) .
Теорема на Пап - Pappus
    Принос за формулирането и доказателството на тази теорема има и Блез Паскал. По този повод той е казал „Древните не са знаели всичко.”
Това е пример за конфигурационна теорема - геометрична теорема, касаеща единствено отношенията на принадлежност на точка към фигура без участие на дължини на отсечки и отношенията между тях.
    Отлагайки доказателството на теоремата на Пап с геометричните методи на проективната геометрия ще преминем към доказателствата на свойствата на полюс и поляра за най-простия вид конично сечение - две прави.

Поляра на точка относно две прав

    Нека е дадена точка P и две прави a и b, неминаващи през нея. Да прекараме през точка P две прави u и v, пресичащи правите a и b.
Тогава диагоналните точки на четириъгълниците образувани от четирите прави (a , b) и (u , v) при промяна на (u , v) лежат на една права, наричана поляра на точка P относно правите (a , b).
Поляра на точка относно две прави - Polar
Доказателство:
    Да означим пресечната точка на правите a и b с Q:     Q:=(a , b)
Да означим още равнината на чертежа с π и да изберем център на централно проектиране точка O и равнина π′, такава, че при централната проекция с център O на равнината π върху равнината π′ правата (Q, P) да се изобразява в безкрайната права от равнината π′.
Това става като изберем равнината π′ успоредна на правата QP и неуспоредна на π а точка O - лежаща на равнина през правата QP.
Равнината π′ се нарича проекционна равнина.
Към доказателството - Pr1
    При този избор на центъра на проекцията и проекционната равнина четириъгълникът (au)(bu)(av)(bv), който ще наричаме оргинален, се проектира в успоредник (au)′(bu)′(av)′(bv)′, две от противоположните страни на който са проекциите a′ и b′.
Пресечната точка на диагоналите на оргиналния четириъгълник са проектират в средната права между a′ и b′ - успоредна на тях, която ще означим с p′.
Нейният оргинал p е права между a и b, минаваща през точка Q. Тя е полярата на точка P спрямо правите a и b.
    Описаният в процеса на доказателството избор на точката O и проекционната равнина π се нарича "устремяване" на правата QP към безкрайната права.

Полюс на права относно две точки - дуална теорема

    Нека е дадена права p и две точки A и B нележащи на нея. Да изберем две точки U и V от правата p и да ги свържем с точките A и B.
Тогава правите, минаващи през пресечните точки (BV, AU) и (AV, BU), при промяна на (U , V), се пресичат в една точка, която се нарича полюс на правата P относно точките (A , B).
Полюс  на права относно две точки - Pole

Доказателство:
    Нека U и V са две различни точки от правата p. Да означим M и N точките M:=( (AU) (BV) ) и N:= ( (AV) (BU) ).
Да устремим правата p от равнината π в безкрайната права на равнината π′.
Тогава различните точки от безкрайната права p′ се устремяват в различни снопове взаимноуспоредни прави от π′.
Образите на U и V - U′ и V′ са два различни снопа успоредни прави от равнината π′.
Това че U′ и V′ са безкрайни точки ще изобразяваме на чертжа с чиртичка до техните означения.
    M′=( (A′U′) (B′V′) ) и N′= ( (A′V′) (B′U′) ).   Четириъгълникът A′M′B′N′ е успоредник.
Пресечната точка на диагоналите му P′ е средата на отсечката A′B′ и тя не зависи от положението на другите два върха U′ и V ′
а следователно и от избора на U и V.
Първообразът на точката P′ е полюсът на p спрямо точките A и B.
Към доказателството - Pr2

    Доказателството на теоремата на Пап се извършва чрез устремяване на точките (1,II) (1,II) и (3,II) (2,III) към безкрайност.
След това се доказва успоредността на правите (1′,III′) и (3′, I′).
При този избор на проекционата равнина се оказва че трите точки (1′, II′) (1′,II′) , (1′,III′) (3′, I′) и (3′,II′) (2′,III′) са колинеарни на безкрайната права.
Следователно са колинеарни и техните оргинали.
    Разгледаните твърдения са примери за конфигурационни теореми.

Какво ще научим?