Какво трябва да знаем?
Симедиана
Станчо Вълканов Павлов - Бургаски университет "проф д-р Асен Златаров" - stancho_pavlov@yahoo.com - 3 юли 2018 г.
Определение
Симедианата в един триъгълник е отсечка, свързваща връх на триъгълника с точка от противоположната страна.
Правата на която тази отсечка лежи е симетрична на медианата спрямо ъглополовящата през същия връх.
Последното твърдение е еквивалентно на:
" Правата, на която тази отсечка лежи е равноъгълна на медианата през същия връх".
Теорема: (основно свойство на симедианата )
Симедианата дели страната, към която е прекарана, в оношение равно на отношението на
квадратите на
съответните страни:
Доказателство:
Нека с d( T, t) означим разстоянието от точка T до правата t.
От това, че AM и AS са равноътълни, следва че произведението на разстоянията от точките M и S до
AB е равно на това до AC.
Да изразим тези разстояния чрез лицата на четирите триъгълника, на които отсечките AM и AS разделят ΔABC:
Съкращаваме на 4 и отчитаме равенството на лицата на триъгълниците, на които медианата разделя ΔABC.
Изразяваме лицата на триъгълниците чрез основите AS и SC и общата им височина h през върха A:
Много по лесно теоремата се доказва с използването на теоремата на Щайнер:
Хармонична четворка от точки
За нашите нужди е достатъчно следното определение:
Вписаният в окръжност четириъгълник ще наричаме хармоничен, ако произведенията от
дължините на двете двойки срещуположни страни са равни.
Но нещата са по-сложни.
?
Теорема:
Симедианата на един триъгълник пресича описаната около триъгълника окръжност в точка,
която допълва върховете на триъгълника до хармоничен четириъгълник.
При такова разположение на точките върху окръжността се казва, че двойката AD дели двойката
BC хармонично или че двойното отношение на четирите точки (BCAD) в този ред, е равно на минус едно.
От основното свойство на симедианата следва, че
По нататък нашата стратегия е да разгледаме подходящи подобни триъгълници с
което да свързваме вътрешните за окръжността отсечки BS, SD и SC с дължините на четириъгълника.
От подобието на ΔABS и ΔCDS следва
От подобието на ΔACS и ΔBDS следва
Разделяйки последните две отношения получаваме
Свързвайки тава равенство с теоремата на Щайнер получаваме че четириъгълникът ABCD е хармоничен:
Друго доказателство се получава, ако се разгледа отношението на лицата на триъгълниците
ΔABD и ΔACD.
?
Аполониевата окръжност заслужава отделна статия, но на нас е необходимо малкото, което се учи в училище.
При даден триъгълник ΔABC Аполониевата окръжност е множеството от точки S, за които SB:SC = AB:AC.
Диаметърът на тази окръжност LL' лежи на правата BC.
L е точката, в която ъглополовящата през A в ΔABC пресича BC а L' е точката на пресичане на
външната ъглополовяща със същата права.
Описаната окръжност на ΔABC пресича нейната Аполониевата окръжност
под прав ъгъл (допирателните в пресечната точка са перпендикулярни ).
Теорема:
Четвъртата хармонична точка - D за точките B, C и A лежи на Аполониевата окръжност за ΔBCA,
минаваща през точката A.
?
Теорема:
Ако четириъгълникът (BCAD) е хармоничен, то ъглополовящите при върховете A и D се
пресичат върху диагонала BC.
?
??5
Указание
!!5
Теорема:
Ако четириъгълникът (BCAD) е хармоничен, и K е среда на AD то триъгълниците ΔABK и ΔCBD са подобни.
?
Теорема (Основно свойство на симедианата и допирателните):
Пресечната точка на правата, свързваща връх на триъгълника ΔBCA с пресечната точка на допирателните към
описаната окръжност,
прекарани през другите два върха и описаната окръжност се явава четвърта хармонична точка за дадения триъгълник.
Сякаш, че от чертежа всичко е ясно. Разглеждаме две двойки подобни триъгълници,
чиито страни са страните на четириъгълника BCAD, равните допирателни с дължина t и частите на секущата PA.
За първата двойка:
За втората двойка:
И накрая следва, че четириъгълникът (BCAD) е хармоничен:
Какво ще научим?