Взаимнообратни функции и техните графики

Четем - пишем. Ако ние пишем - не четем.

Какво трябва да знаем:
Обратно изображение
Графики на функции

Към:
Математиката в училище
Съдържание на висша математика I част

Взаимнообратни функции и техните графики

Нека е дадена функцията y = f(x) .
Да разгледаме равенството y = f(x) като уравнение с неизвестно x и параметър y.
Изразяваме x като функция на y. y = f(x) ⇔ x = φ (y) Аргумента на функцията се означава с x а нейната стойност с у. Сменяме местата на x и y.
Дефинираме функцията y = φ(x)
Функцията y = φ(x) се нарича обратна на y = f(x) и се означава с y := f^-1 (x) .

Коя е обратната функция на y = 2x

В последното равенство заместваме x с y и обратно.
Заместваме x с y и обратно. _2x_2

За обратната функция получаваме
Функцията и нейната обратна _2x_3

Коя е обратната функция на

В последното равенство заместваме x с y и обратно.

За обратната функция получаваме

Взаимнообратните функции имат симетрични графики спрямо правата y=x Pict1

Графиките на взаимнообратните функции са симетрични спрямо ъглополовящата на първи и трети квадрант.

Примери на взаимнообратни функции
с тяхната дефиниционна област ( ДО ) и областта от значенията ( ОЗ )

Тъждествена функция y = x

Права пропорционалност y = а.x

Линейна функция y = а.x + b

Обратна пропорционалност y = 1/x

Дробнолинейна функция

Често е необходимо да се ограничи дефиниционната област, за да бъде коректно дефиниравна обратната функция.
Тази нова, стеснена област ще означавами със СО.
Тя се приема за дефиниционна област на обратната функция.

Квадратна функция y = x^2

Показателна функция y = a^x при a > 1

Експоненциалната функция е частен случай на горната, при a = e.

Тригонометрични функции, стесняване на дефиниционната област и техните обратни

y = sinx

y = cosx

y = tgx

y = cotgx

Какво ще научим:

Свойства на обратната функция по отношение на монотонността
Свойства на обратната функция по отношение на изпъкналостта
Производни на обратни функции