Изследване на функцията
y = -x.ln x - (1-x).ln (1-x)
Ще изследваме функцията
y = -x.ln(x) - (1-x).ln(1-x) в интервала (0;1].
Едно нейно, неочевидно свойство е че тя е неотрицателна в изследвания интервал.
Тази функция може да се представи във вида
Тя има максимум при
Функцията се свързва с понятието ентропия ( хаос ) в теорията на информацията.
Ентропия , на гръцки, означава завой, обрат, превръщане.
За първи път понятието е въведено в термодинамиката, като мярка за необратимо
разсейване на енергията от именития
немския физик Рудолф Юлиус Имануел Клаузевиц (1822 - 1888).
Той е формулирал и хипотезата за топлинната „смърт” на Вселената.
Понятието ентропия, в теорията на информацията се употребява като мярка за неопределеността при опит,
който може да има няколко изхода.
1. При x → 0 и при x → 1 y(x) → 0
2. Намираме първата производна на y.
3. Решаваме неравенството y ′ >0, за да определим интервалите на монотонност
Изводът е че при
y расте, а извън този интервал - намалява.
Максималната стойност на y е
4. Функцията е вдлъбдната гледана отдолу , за всяко x от изследвания интервал.
Следователно в изследвания интервал графиката на функцията y= y(x) е вдлъбната, гледана отдолу.
5. Ще направим едно допълнително изследване -
функцията е симетрична спрямо вертикалната права x=0,5.
y(x)=-x.ln(x)-(1-x)ln(-1x).
Да направим полагането
При това полагане началото на координатната система се измества надясно по абцисата при x=0,5.
Новата функция, с променлива ε е четна.
От направените изследвания я начертаваме.
А тази графика е направена с програмата за графики от
http://roncho.net/
Графиката на y=-xlnx-(1-x).lnx в интервала (0, 1]
Да формулираме отново получения резултат:
Функцията
има максимум при
и той е ln(2).
y расте, а извън този интервал - намалява.
има максимум при
