Редът на естествените числа е редицата N={1, 2, 3, ... n ... }
Тя съдържа безбройно много членове.
Нека сега да си представим една кошница и да поставим в нея числото 1.
Да предположим, че имаме право, ако в кошницата стои числото k да поставим в нея и следващото k+1.
Тогава ние можем да приберем в кошницата всички естествени числа, макар че са безбройно много.
Този принцип италианският математик Пеано го е издигнал до аксиома.
Изказва се словесно така:
Нека К е подмножество на естествените числа. K⊆N , удовлетворяващо следните две условия
Числото 1 принадлежи на К.
Ако числото k принадлежи на К то и следвощото k+1 също принадлежи на К.
Тогава К съвпада с множеството на естествени числа N.
Принципът на математическата индукция се използва за доказване на твърдения, касаещи множество на
естествените числа.
Първо се доказва, че твърдението е вярно за числото 1.
Второ се доказва, че ако твърдението е вярно за числото k, то е вярно и за следващото число k+1.
Тогава твърдението е вярно за всяко естествено число.
Ще докажем, чрез метода на математическата индукция, че сумата на първите n естествени числа е
Ще проверим твърдението за числата 1,2, и 3.
Ясно е, че твърдението за тях е вярно.
Сега втора стъпка!
Допукаме, че твърдението е вярно за n = k :
Трябва да докажем, че то е вярно и за следващото число n = k+1.
За да използваме предположението ще запишем сумата отляво така:
Но ние сме допуснали, че
Да заместим:
Остава да проверим равенството
което е ясно.
Филип Петров е написал интересна статия по въпроса.
Потърси я в "http://www.cphpvb.net/metodos/4868-математическа-индукция"
Портретът на Пеано може да се види
тук.
което е ясно.