Неравенство на триъгълника

Всяка страна на триъгълника е по малка от сбора на другите две страни

Считаме за приети твърденията:
  1. Сумата от ъглите в триъгълника е равна на 180 градуса.
  2. В равнобедрения триъгълник ъглите при основата са равни.
  3. Срещу по-голям ъгъл в триъгълника лежи по-голяма страна.
  4. Външният ъгъл в един триъгълник е равен на сбора на двата несъседни нему ъгли.
Сега ще обосновем твърдението:
Дължината на всяка страна на един триъгълник е по-малка от сбора на дължините на другите две страни.
Да разгледаме триъгълник със страни a, b и c.
Нека ъгълът при върха B е β. Триъгълник-Drawing1
Върху продължението на страната AB да нанесем отсечка BB1 с дължина равна на a.
AB e удъвоена--Drawing2

Тогава ъгълът β е сумата от ъглите <BB1C и <BCB1 които са равни, като ъгли при основата на равнобедрен триъгълник.
Тогава всеки от тях е равен на β/2.
Ъгли при равнобедрен триъгълник -Drawing3

Ако разгледаме триъгълника AB1C ще забележим, че ъгълът при върха B1 е по-голям от ъгъла < ACB1 .
Тогава AB1 > AC или което е същото a + c > b.
Това, което трябваше да се докаже.
Още едно доказателство:
Проектираме C върху страната AB. Перпендикуляр към страната AB -Drawing4 Тогава c = a1 + b1 < a + b.
Какво ще се случи ако ъгълът γ е тъп?