Какво трябва да знаем:
Числа
Основни елементарни функции и техните графики

Към:
Математиката в училище

Страницата е превод от "http://www.themathpage.com/aprecalc/logarithmic-exponential-functions.htm".
Направен е опит за имитация на стила - не съвсем успешен и подлежащ на критика.

Логаритмична и показателна функциии и уравнения

Логаритмичната фуннкция с основа b се означава с y = log_bx .
Основата b, обикновено е число по-голямо от 1 но може да бъде и произволно, положително число, различно от 1.
Логаритмичната функция е дефинирана за всяко x > 0.
Ето и вида на нейната графика при основа b > 0.

Графика на логаритмичната функция

Забележете, че    при произволна основа , графиката пресича оста x при x = 1.
Защо?
За да видите отговора поставете мишката върху оцветената област
За да закриете отговора отново, щракнете върху бутона "Refresh" ("Reload").
•  Графиката преминава през точката с координати ( b , 1). Защо?
•   при 0 < x < 1 графиката на логаритмичната функция е под абцисата т.е. логаритъмът е отрицателен. Кои положителни рационални числа имат отрицателни логаритми?
•   Логаритмичната функция е дефинирана само за положителните стойности на променливата x Например log_b(-4), няма смисъл. Понеже b е положително, не съществува степен на b, която е отрицателна.
•   Множеството на стойностите на логаритмичната функция са всички реални числа. Отрицателната част на оста y е вертикална асимтота за логаритмичната функция.
Пример 1. Транслация по осите.
    Това е графиката на натуралния (естествен) логаритъм, y = ln x

Натурален логаритъм
А това е графиката на y = ln (x - 2) , която е транлация на изходната на 2 единици надясно.
Транслация по остта x ln2
Пресичането с оста х се премества от x = 1 на x = 3. а вертикалната асимптота от x = 0 на x = 2

Задача 1. Начертайте графиката на y = ln (x + 3).

y=ln(x+3)
Изходната графика е транслирана 3 единици наляво.
Пресечната точка с абцисата се премества от 1 на - 2.
Вертикалната асимтота - от 0 на -3

Показателна функция

Показателната фуннкция с положителна основа b ≠ 1 е функцията y = b ^x.

Нейната дефиниционна област за всяко реално число x. На долния чертеж е скицирана нейната графика:

Трябва да се отбележат две важни неща:

• Графиката пресича оста Oy в точката (0, 1) Защото b⁰ = 1.
• Оста Ox е хоризонтална асимтота. Защото ако x е отрицателно число с голяма абсолютна стойност например b^-10,000 то y е много малко положително число.

Задача 2.

a) Нека f(x) = e^x. Коя е функцията f(-x). b) Какво е отношението между графиките на y = e^x и на y = e^-x c) Скицирайте графиката на y = e^-x.

Тъждества, произтичащи от взаимната обратност на показателната и логаритмична функция

Обратната на произволна показателна функция е логаритмична функция. Защото при произволна основа b:

1) b^log_bx = x, и 2) log_bb^x = x.
Първото правило въплъщава дефиницията на логаритъма: log_bx е степента на която трябва да се повдигне основата b за да се получи x. Второто правило сме го срещали преди Нека сега f(x) = b^x и g(x) = log_bx.
Така че Правило 1) изразява факта, че f(g(x)) = x. а Правило 2) - g(f(x)) = x.
Тези правила удовлетворяват дефинициите на две взаимно-обратни функции.
Следователно при всяка основа b>0 и b ≠ 1, функциите f(x) = b^x и g(x) = log_bx са взаимно-обратни.

Задача 3. Пресметнете следните стойности.

a) log₂2⁵	= 5	b) lg 10^6.2	= 6.2	c) ln e^{x + 1}	= x + 1

d) 2^log₂5	= 5	e) 10^{log 100}	= 100	f) e^{ln (x - 5)}	= x - 5

Задача 4.

a) Коя функция е обратна на y = ln x б) Нека f(x) = ln x и g(x) = e^x, . Покажете че f и g са взаимно-обратни.

Това са графиките на y = e ^x и y = ln x.

Графиките на функциите y=exp(x) и y=lnx.

Както при графиките на всички взаимно-обратни функции графиките и на тези две
са симетрични спрямо ъглополовящата на първи и трети квадрант, която е с уравнение y = x.

Задача 5. Пресметнете ln e^{arccos (-1)}.

Показагелни и логаритмични уравнения

Пример 2. Решете уравнението : 5^{x + 1} = 625

Решение: За да изразим x + 1 прелагаме обратната функция -- логаритъм при основа 5 -- към двете страни на уравнението.

log₅5^{x + 1} = log₅625
x + 1 = log₅625
x + 1 = 4
x = 3.

Пример 3. Решете уравнението : 2^{x - 4} = 3^x

Решение:
Логаритмуваме двете страни на уравнението при основа две или при основа 3. Да бъде при основа 2.
log₂2^{x - 4} = log₂3^x
x - 4 = x log₂3
x - x log₂3 = 4
x(1 - log₂3) = 4

x =	4
	1 - log₂3

log₂3 е някакво число. Уравнението е решено.

Задача 6. Решете уравнението : 2^{x - 5} = 32

Задача 7. Решете уравнението. 10^{3x - 1} = 2^{2x + 1}. Отговорът може да съдържа логаритъм.

Задача 8. Решете уравнението : e^{sin x} = 1

Пример 4. Решете уравнението: log₅(2x + 3) = 3

Решение.
За да "освободим" аргумента прелагаме обратната функция към двете страни.
Това е показателната функция с основа 5 -- 5^x
Получаваме еквивалентното уравнение:

2x + 3 = 5³
2x = 125 - 3
2x = 122
x = 61

Задача 9. Решете уравнението : log₄(3x - 5) = 0

Задача 10. Решете уравнението : log₂(x² + 7) = 4

Пример 5. Решете уравнението: log (2x + 1) = log 11

Решение:
Равенството е еквивалентно на 10 на степен лявата част е равно на 10 на степен дясната:
2x + 1 = 11. Или x =5.

Задача 11. Решете уравнението: ln (5x - 1) = ln (2x + 8).

Упражнения по алгебра

Привеждане към един логаритъм Пример 6. Използвайте свойствата на логаритмите за да опростите израза: lg x + lg y - 2 lg z
Решение:

log x + log y - 2 log z = log xy - log z² = lg (xy/z²)

Задача 12. Опростете израза: k log x + m log y - n log z

Пример 7. Според правилото: n = log_bbⁿ, можем да запишем всяко число като логаритъм при произволна основа.

Например

7	=	log₂2⁷

5.9	=	log₃3^5.9

t	=	ln e^t

3	=	log 1000

Задача 14.

Изразете като логаритъм числата: a) 2 = ln b) 1 = ln

Пример 8. Запишете като един логаритъм израза: log_bx + n

Решение:

log_bx + n =
log_bx + log_bbⁿ =
= log_bxbⁿ

Задача 15.

Запишете като един логаритъм числото: log 2 + 3

Задача 16. Запишете като един логаритъм израза: ln A - t

Задача 17. Решете уравнението: log₂x + log₂(x + 2) = 3.

Решението x = - 4, трябва да бъде отхвърлено, защото отрицателното число -4 не е от дефиниционната област на функцията log₂x.