Какво трябва да знаем:
Числа
Основни елементарни функции и техните графики
Към:
Математиката в училище

Страницата е превод от "http://www.themathpage.com/aprecalc/logarithmic-exponential-functions.htm".
Направен е опит за имитация на стила - не съвсем успешен и подлежащ на критика.

Логаритмична и показателна функциии и уравнения


Логаритмичната фуннкция с основа b се означава с y = logbx .
Основата b, обикновено е число по-голямо от 1 но може да бъде и произволно, положително число, различно от 1.
Логаритмичната функция е дефинирана за всяко x > 0.
Ето и вида на нейната графика при основа b > 0.


Забележете, че    при произволна основа , графиката пресича оста x при x = 1.
 Защо?
За да видите отговора поставете мишката върху оцветената област
За да закриете отговора отново, щракнете върху бутона "Refresh" ("Reload").

    Логаритъм от 1 е 0.   y = log b 1 = 0.


•  Графиката преминава през точката с координати ( b , 1).   Защо?

    Логаритъм от основата е 1.  log b b = 1.


•   при 0 <  x  < 1 графиката на логаритмичната функция е под абцисата т.е. логаритъмът е отрицателен. Кои положителни рационални числа имат отрицателни логаритми?

    Правилните дроби.


•   Логаритмичната функция е дефинирана само за положителните стойности на променливата x Например logb(-4), няма смисъл. Понеже b е положително, не съществува степен на b, която е отрицателна.
•   Множеството на стойностите на логаритмичната функция са всички реални числа. Отрицателната част на оста y е вертикална асимтота за логаритмичната функция.
Пример 1.   Транслация по осите.
    Това е графиката на натуралния (естествен) логаритъм,   y = ln x  

Натурален логаритъм
А това е графиката на   y = ln (x - 2) , която е транлация на изходната на 2 единици надясно.
Транслация по остта x ln2
Пресичането с оста х се премества от x = 1 на x = 3.   а вертикалната асимптота от x = 0 на x = 2

Задача 1.    Начертайте графиката на y = ln (x + 3).


            y=ln(x+3)
    Изходната графика е транслирана 3 единици наляво.  
Пресечната точка с абцисата се премества от 1 на - 2.  
Вертикалната асимтота - от 0 на -3

Показателна функция

Показателната фуннкция с положителна основа b ≠ 1  е функцията       y  =   b x.

Нейната дефиниционна област за всяко реално число x.   На долния чертеж е скицирана нейната графика:

Трябва да се отбележат две важни неща:

•   Графиката пресича оста Oy в точката (0, 1)   Защото b0 = 1.
•   Оста Ox е хоризонтална асимтота.   Защото ако x е отрицателно число с голяма абсолютна стойност например b-10,000 то y е много малко положително число.

Задача 2.

a)   Нека f(x) = ex.   Коя е функцията f(-x).

      f(-x)   =  e-x       Аргумента x се заменя с -x.

b)   Какво е отношението между графиките на  y = ex  и на    y = e-x

      y = e-x е отражение спрямо оста Oy   на графиката на y = e x.

c)   Скицирайте графиката на y = e-x.

Графиката на y=exp(-x)

Тъждества, произтичащи от взаимната обратност на показателната и логаритмична функция

Обратната на произволна показателна функция е логаритмична функция.   Защото при произволна основа b:

1)    blogbx = x, и 2)   logbbx = x.
Първото правило въплъщава дефиницията на логаритъма:  logbx е степента на която трябва да се повдигне основата b за да се получи   x. Второто правило сме го срещали преди   Нека сега f(x) = bx   и   g(x) = logbx.
Така че Правило 1) изразява факта, че  f(g(x))  =  x. а Правило 2) -  g(f(x))  =  x.
Тези правила удовлетворяват дефинициите на две взаимно-обратни функции.
Следователно при всяка основа b>0 и b ≠ 1, функциите f(x) = bx   и   g(x) = logbx са взаимно-обратни.

Задача 3.    Пресметнете следните стойности.

   a)  log225   = 5       b)  lg 106.2   = 6.      c)  ln ex + 1   = x + 1 
 
   d)  2log25   = 5       e)  10log 100   = 100       f)  eln (x - 5)   = x - 5 

Задача 4.  

a)   Коя функция е обратна на   y = ln x

      y = ex.

б)   Нека   f(x) = ln x   и  g(x) = ex,   . Покажете че f и g са взаимно-обратни.

      f(g(x)) = ln e x = x,

      g(f(x)) = e ln x = x.

Това са графиките на  y = e x   и   y = ln x.




Както при графиките на всички взаимно-обратни функции графиките и на тези две
са симетрични спрямо ъглополовящата на първи и трети квадрант, която е с уравнение  y = x.  

Задача 5.    Пресметнете ln earccos (-1).

    ln earccos (-1) = arccos (-1) = π.

Показагелни и логаритмични уравнения

Пример 2.   Решете уравнението :       5x + 1 = 625

 Решение:     За да изразим x + 1 прелагаме обратната функция -- логаритъм при основа 5 -- към двете страни на уравнението.

log55x + 1  =  log5625
x + 1   =  log5625
x + 1   =   4
x   =   3.

Пример 3.    Решете уравнението :       2x - 4  =  3x

 Решение:
    Логаритмуваме двете страни на уравнението при основа две или при основа 3. Да бъде при основа 2.
log22x - 4  =  log23x
x - 4  =  x log23
x - x log23   =   4
x(1 - log23)  =   4
x   =          4      
1 - log23
log23 е някакво число.   Уравнението е решено.

Задача 6.    Решете уравнението :     2x - 5  =  32

      log22x - 5   =   log232             x - 5   =   5             x   =   10      

Задача 7.    Решете уравнението. 103x - 1  =  22x + 1.  Отговорът може да съдържа логаритъм.

        lg 103x - 1   =   lg 22x + 1

        3x - 1   =   (2x + 1) lg 2

        3x - 1   =   2x lg 2 + lg 2

        3x - 2x lg 2   =   1 + lg 2

        x(3- 2 lg 2)   =   1 + lg 2

        x   =   (1 + lg 2)  /  (3 - 2 lg 2)

Задача 8.    Решете уравнението :   esin x  =  1

      ln esin x   =   ln 1

      sin x   =   0

      x е ъгъл, чийто sin e 0:

      x   =   0.

Пример 4.    Решете уравнението:    log5(2x + 3)  =  3

Решение.
   За да "освободим" аргумента прелагаме обратната функция към двете страни.
Това е показателната функция с основа 5 -- 5x  
Получаваме еквивалентното уравнение:

2x + 3   =  53
2x   =   125 - 3
2x   =   122
x   =  61

Задача 9.    Решете уравнението :     log4(3x - 5)   =   0

      Използваме еквивалентността 4f(x) = 4g(x) ⇔ f(x) = g(x)

      3x - 5   =   40  =  1

      3x   =   6

      x   =   2

Задача 10.    Решете уравнението :     log2(x² + 7)   =   4

    x² + 7   =   24  =  16

    x²   =   16 - 7 = 9

    x   =   ±3

Пример 5.    Решете уравнението:    log (2x + 1) = log 11

Решение:  
Равенството е еквивалентно на 10 на степен лявата част е равно на 10 на степен дясната:
2x + 1 = 11.     Или     x =5.

Задача 11.    Решете уравнението:    ln (5x - 1) = ln (2x + 8).

    Нека двете части са аргументи на показателната функция при основа e, получаваме:

    5x - 1   =   2x + 8

    3x   =   9

    x   =   3.

Упражнения по алгебра

Привеждане към един логаритъм
Пример 6.     Използвайте свойствата на логаритмите за да опростите израза:     lg x  +  lg y  -  2 lg z
  Решение:

      log x  +  log y  -  2 log z   =   log  xy  -  log z²     =   lg  (xy/z²)

Задача 12.     Опростете израза:     k log x  +  m log y  -  n log z

Пример 7.    Според правилото: n  =  logbbn,     можем да запишем всяко число като логаритъм при произволна основа.

Например

7   =   log227
 
5.9   =   log335.9
 
t   =   ln et
 
3   =   log 1000

Задача 14.

    Изразете като логаритъм числата:     a)   2 = ln e²     b)   1 = ln  e

Пример 8.     Запишете като един логаритъм израза:    logbx  + n

  Решение:


        logbx  +  n =
        logbx  + logbbn =
          =  logbxbn

Задача 15.

   Запишете като един логаритъм числото: log 2  +  3

    log 2  +  3   =  

    log 2  +  log 103   =  

    log 2 × 103  =  

    log 2000

Задача 16.    Запишете като един логаритъм израза:     ln A  -  t



    ln A  -  t   =  

    ln A  - ln et

    ln A  +ln e-t   =  

    ln Ae-t

Задача 17.    Решете уравнението:     log2x  +  log2(x + 2)   =   3.



     log2[x(x + 2)]   =   3

     От теоремата f(x)=g(x) ⇔ af(x)=ag(x) при а = 2 получаваме:

     x(x + 2)   =   23 = 8.

     (x - 2)(x + 4)   =   0

     x   =   2 или x   =   -4.

Решението x = - 4, трябва да бъде отхвърлено, защото отрицателното число -4 не е от дефиниционната област на функцията log2x.

Задача 18.    Решете уравнението: ln (1 + x) - ln (1 - x)   =   1.

   

    Да повдигнем e на степен двете страни на равенството. Получаваме:  

      217_Stt

    1 + x   =   e - ex
    ex + x   =   e - 1

    (e + 1)x   =   e - 1

    218_Stt